《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册浙教版》

22. (10分)自习课上,小敏遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,BE是AC边上的中线,点D在BC边上,$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$,AD与BE相交于点P,求$\frac{AP}{DP}$的值.小敏思考后发现,过点A作AF//BC,交BE的延长线于点F,借助构造△AEF,通过推理和计算能够使问题得到解决(如图1).
(1) 请回答:$\frac{AP}{DP}$的值为______;
(2) 在△ABC中,点D在BC的延长线上,AD与AC边上中线BE的延长线交于点P,且CD∶BC∶AC=1∶2∶3.
①如图2,当∠ACB=90°时,求$\frac{AP}{DP}$的值;
②如图3,当∠ACB=60°时,$\frac{AP}{AB}=$______.

答案： 解:
(1)$\frac{3}{2}$　解析:
∵AF//BC,
∴∠F=∠CBE.
∵E为AC的中点,
∴AE=CE.在△AFE与△CBE ∠F=∠CBE,
　　　中,∠AEF=∠CEB,
∴△AFE≌△CBE,
∵$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{2}$,
∴FA=BC=3CD=$\frac{3}{2}$BD.
∵AF//BC,
∴
AE=CE,
　　　　{
　　　　　　　　　　　　　　　　$\frac{3}{2}$
　　　△APF∽△DPB,
∴$\frac{AP}{DP}$=$\frac{FA}{BD}$=$\frac{2}{BD}$=$\frac{3}{2}$.　　
(2)①过点A作AF//BC,交BE延长线于点F.同
(1)可得△AFE≌△CBE,
∵DC:CB=1:2,
∴FA=BC=$\frac{2}{3}$BD.
∵AF//BC,
∴△AFP∽△DBP,
$\frac{2}{3}$
　
∴$\frac{AP}{DP}$=$\frac{FA}{BD}$=$\frac{3}{BD}$=$\frac{2}{3}$.　②$\frac{2\sqrt{91}}{35}$　解析:过点A作AF//BD,交BP的延长线于点F,过点A 作AH⊥BD于点H,则易得△APF∽△DPB,△AEF∽△CEB,$\frac{AP}{DP}$=$\frac{FA}{BD}$,又
∵E为AC的中点,
∴
AE=CE,
∴△AEF≌△CEB,
∴AF=BC,
∴$\frac{AP}{DP}$=$\frac{BC}{BD}$$\frac{2}{3}$,
∴AP=$\frac{2}{5}$AD.设AC=3k,则BC=2k,
CD=k.在Rt△ACH中,∠ACH=60°,∠AHC=90°,
∴∠CAH=30°,
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$k,
∴AH =$\frac{3\sqrt{3}}{2}$k.
∵BH=BC−CH=$\frac{1}{2}$k,
∴AB=　$\sqrt{BH+AH}$=$\sqrt{7}$k.在Rt△ADH中,DH=CD+CH=
　　$\frac{5}{2}$k,
∴AD=　$\sqrt{AH+DH²}$=　$\sqrt{13}$k,
∴AP=$\frac{2\sqrt{13}}{5}$k,
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{2√91}{35}$:　　点评:本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识.结合中点作平行线构造全等三角形和相似三角形是解决本题的关键.

23. (12分)点O在线段AB上,AB=6,OC为射线,且∠BOC=45°,动点P以每秒1个单位长度的速度从O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.
(1) 如图1,若AO=2,
①当t=6时,OP=______,S△ABP=______;
②当△ABP与△PBO相似时,求t的值;
(2) 如图2,若O为线段AB的中点,当AP=AB时,过点A作AQ//BP,并使得∠QOP=∠B,求AQ·BP的值.

答案：
解:
(1)①6　9$\sqrt{2}$　②
∵AB=6,AO=2,,BO=4.由题意,得只可能是
　　△ABP∽△PBO,
∴$\frac{AB}{PB}$=$\frac{BP}{BO}$=$\frac{AP}{PO}$
∴BP',=−AB.BO=24.,BP、=2$\sqrt{6}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 过点B作BH⊥OP于点H,则OH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BO=2$\sqrt{2}$在Rt△BPH中,
　　PH=　$\sqrt{BP−BH²}$=4,
∴OP=OH+PH=2$\sqrt{2}$+4,即t=2$\sqrt{2}$+4.　　
(2)
　
∵AP=AB,
∴∠APB=∠B.如图,过点O作OE//AP,交BP于点E,则∠OEB=∠APB=∠B.
∵AQ//BP,
∴∠QAB+∠B=180°,又
∵∠3+∠OEB=180°,
∴∠3=∠QAB.又
∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B,且∠QOP=∠B,
∴∠1=∠2,
∴△QAO∽△OEP,
∴$\frac{A}{EO}$=$\frac{A}{EP}$,即AQ.EP=
　　EO.AO.
∵OE//AP,且O为AB中点,
∴AO=$\frac{1}{2}$AB=3,EO=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$AB=3,BP=2EP,
∴AQ.EP=9,
∴AQ.BP=AQ×2EP=18.