《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册浙教版》

19. (8分)如图,有长为24 m的篱笆,现利用一面长为 $a$ m的墙(墙的最大可用长度 $a$为15 m),围成两间矩形花圃,中间用篱笆隔开.设花圃的宽 $AB$为 $x$ m,面积为 $S$ m².
(1) 求 $S$与 $x$的函数关系式及 $x$的取值范围;
(2) 要围成面积为36 m²的花圃,$AB$的长是多少?
(3) 当 $AB$的长是多少时,围成的花圃的面积最大?

答案： 解:
(1)由题可得BC=24−3x,
∴S=AB.BC=x(24−3x)=−3x²+24x,
由$\begin{cases}{ 24-3x＞0 } \\ {24-3x≤15} \end{cases}$
解得3≤x＜8,
∴S与x的函数关系式是S=−3x²+24x,x的取值范围是3≤x＜8.　　
(2)由题意，得−3x² +24x=36,解得x1=2,x2=6,
∵3≤x＜8,
∴AB的长是6m.　
(3)
∵S=−3x²+24x=−3(x−4)²+48,3≤x＜8,
∴当x=4时,S有最大值48,即当AB的长是4m时，围成的花圃的面积最大.

20. (8分)抛物线 $y_{1}=\frac{1}{2}(x - h)^{2}+k$与 $y_{2}=a(x + 3)^{2}-1$交于点 $A$,分别交 $y$轴于点 $P,Q$,过点 $A$作 $x$轴的平行线,分别交两条抛物线于点 $B,C$. 已知 $B(3,3)$,$BC = 10$.
(1) 求 $a$的值;
(2) 若点$(2,m)$,(3,$n$)及(4,$p$)都在抛物线 $y_{1}$上,判断 $m,n,p$的大小关系,并说明理由;
(3) 求 $PQ$的值.

答案： 解:
(1)
∵B(3,3),BC=10,
∴C(−7,3),
把C(−7,3)代入y2=a(x+3)²−1,得3=a(−7+3)²−1,
解得a=$\frac{1}{4}$.　
(2)m＜n＜p.　理由:
∵a=$\frac{1}{4}$,
∴y2=$\frac{1}{4}$(x+3)²−1,
令$\frac{1}{4}$(x+3)²−1=3,
解得x =1或x=−7,
∴A(1,3),
又
∵抛物线y过点B(3,3),
∴h=$\frac{1+3}{2}$=2,
∴抛物线y1=$\frac{1}{2}$(x−h)²+k的对称轴是直线x=2,
又
∵抛物线y1的开口向上,且点(2,m),(3,n)及(4,p)都在抛物线y上,
∴m＜n＜p.　
(3)把B(3,3)代入y=$\frac{1}{2}$(x−2)²+k,
解得k=$\frac{5}{2}$,
∴y1=$\frac{1}{2}$(x−2)²+$\frac{5}{2}$,
令x=0,得y=$\frac{9}{2}$
∴P(0,$\frac{9}{2}$).
在y=$\frac{1}{4}$(x+3)²−1中,
令x=0,得y=$\frac{5}{4}$,
∴Q(0,$\frac{5}{4}$).
∴PQ=$\frac{9}{2}$−$\frac{5}{4}$=$\frac{13}{4}$.