《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册浙教版》

20. (8分)如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度$y$(m)与水平距离$x$(m)的路线为抛物线的一部分. 甲在点$O$正上方1 m的点$P$处发出一球，已知点$O$与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m. 当羽毛球在水平方向上运动4 m时，达到最大高度2 m.
(1)求羽毛球经过的路线对应的函数表达式；
(2)通过计算判断此球能否过网；
(3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为$\frac{23}{16}$m的点$Q$处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离.

答案： 解:
(1)由题意，得抛物线顶点坐标为(4,2)，与y轴交点坐标为(0,1).
设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为y=a(x−4)²+2,
把(0,1)代入,得1=16a+2,
解得α=-$\frac{1}{16}$,
∴y=−$\frac{1}{16}$(x−4)²+2=$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{2}$x+1.　　
(2)在y=−$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{2}$x+1中,令x=5,得y=−$\frac{25}{16}$+$\frac{5}{2}$+1=1.9375,
∵1.9375＞1.55,
∴此球能过网.　　
(3)在y=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{2}$x+1中,
令y=$\frac{23}{16}$,得$\frac{23}{16}$=$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{2}$x +1,
解得x=1(舍去)或x=7,
∵7−5=2(m),
∴此时乙与球网的水平距离为2m

21. (10分)如图，已知二次函数$y = x^{2}+ax + a + 1$的图象经过点$P(-2,3)$.
(1)求$a$的值和图象的顶点坐标；
(2)点$Q(m,n)$在该二次函数图象上.
①当$m = 2$时，求$n$的值；
②当$m\leqslant x\leqslant m + 3$时，该二次函数有最小值11，请根据图象求出$m$的值.

答案： 解:
(1)
∵二次函数y=x²+ax+a+1的图象经过点P(−2,3),
∴3=(−2)²+a×(−2)+a+1,解得a=2,
∴y=x²+2x+3=(x+1)²+2,
∴该函数图象的顶点坐标是(−1,2).　　
(2)①
∵点Q(m,n)在二次函数y=x²+2x+3的图象上,m=2,
∴n=2²+2×2+3=11.　　
②由
(1),
(2)①可得,函数图象过(2,11),对称轴为直线x=−1,
∴(2,11)关于对称轴的对称点为(−4,11).
结合图象可知,若m≤x≤m+3,二次函数有最小值11,
则m=2或m+3=−4,
∴m=2或−7.