《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册浙教版》

23. (12分)某商家代理经销某种商品,以每件40元的价格批发购进该商品915件,经走访市场发现:每天的销售量 $y$(件)和销售单价 $x$之间的一次函数关系如下表($x\geqslant50$的整数).

(1) 写出 $y$关于 $x$的函数关系式________;
(2) 问定价 $x$为多少时,每天获得利润最大,并求最大利润;
(3) 商家在实际销售过程中,以每天最大利润销售了10天后,他发现销售时间只剩下最后两天,所以在最后不超过两天时间内销售完余下的商品,这915件商品的总利润为 $w$元,则总利润 $w$的最大值为______.(直接写出答案)

答案： 解:
(1)y=−5x+350　
(2)设每天的利润为N元.
由题意,得N=(x−40)(−5x+350)=−5(x−55)²+1125,
∵a=−5＜0,
∴当x=55时，N取得最大值1125,
即定价为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元.　
(3)13475　

24. (12分)已知:二次函数 $y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象与 $x$轴交于点 $A(-3,0)$,$B(1,0)$,顶点为 $C$.
(1) 求该二次函数的解析式和顶点 $C$的坐标;
(2) 如图,过 $B,C$两点作直线,并将线段 $BC$沿该直线向下平移,点 $B,C$分别平移到点 $D$,$E$处. 若点 $F$在这个二次函数的图象上,且$\triangle DEF$是以 $EF$为斜边的等腰直角三角形,求点 $F$的坐标;
(3) 试确定实数 $p,q$的值,使得当 $p\leqslant x\leqslant q$时,$p\leqslant y\leqslant\frac{3}{2}$.

答案： 解:
(1)
∵该二次函数图象与x轴交于点A(−3,0),B(1,0),
∴$\begin{cases}{-\frac{1}{2}×9-3b+c=0 } \\ {-\frac{1}{2}×1+b+c=0} \end{cases}$
$解得b=-1,c=\frac{3}{2}$
∴该二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²−x+$\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$(x+1)²+2,
∴顶点C的坐标为(−1,2).
(2)过点C作CH⊥x轴于点H.
∵C(−1,2),
∴CH=2,OH=1.
∵BO=1,
∴BH=2=CH,
∴△BCH是等腰直角三角形，
∴∠BCH=45°,BC=$\sqrt{BH+CH²}$=2$\sqrt{2}$.
在等腰Rt△DEF中,DE =DF=BC=2$\sqrt{2}$,∠FDE=90°,
∴EF=$\sqrt{DE+DF}$=4,∠FED=45°.
∴EF//CH//y轴
∵B(1,0),C(−1,2),
∴直线BC的解析式为y=−x+1.
设F(m,，−$\frac{1}{2}$m²−m+$\frac{3}{2}$)(m＞1),
则点E(m,−m+1),
∴EF=(−m+1)−(−$\frac{1}{2}$m²−m+$\frac{3}{2}$)=$\frac{1}{2}m²-\frac{1}{2}$=4,
解得m1=3,m2=−3(舍去),
∴点F的坐标为(3,−6).　　
(3)当y=$\frac{3}{2}$时，−$\frac{1}{2}$x2−x+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$,
解得x1=−2,x2=0.
∵y=$\frac{1}{2}$x²−x+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$(x+1)²+2,
∴当x＜−1时,y随x的增大而增大;
当x＞−1时,y随x的增大而减小;
当x=−1时,y有最大值2.
∵当p≤x＜q时,ρ≤y≤$\frac{3}{2}$
∴可分三种情况;①当p≤q ≤−1时,由增减性,得仅当x=q=−2时,y最大=$\frac{3}{2}$;
当x=p,y=p时,p=−$\frac{1}{2}$(p+1)²+2,
解得p1=−2+$\sqrt{7}$＞−1(舍去),p2=−2-$\sqrt{7}$
∴p=−2−$\sqrt{7}$,q=−2;
②当p＜−1≤q时,当x=−1时,y最大=2＞$\frac{3}{2}$(舍去);
③当−1≤p＜q时,由增减性,得当x=p=0时,y最大=$\frac{3}{2}$;当x=q时,y最小=p =0,
把x=q,y=p=0代入y=−$\frac{1}{2}$(x+1)²+2,得-$\frac{1}{2}$(q+1)²+2=0,
解得q1=1,q2=−3＜−1 (舍去).
∴p=0,q=1.
综上,满足条件的实数p,q的值为ρ=−2−$\sqrt{7}$,q=−2或p=0,q=1.