《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册浙教版》

22. (10分)阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理:如图1,在$\triangle ABC$中,AD平分$\angle BAC$,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图2,过C作CE//DA,交BA的延长线于点E.……
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)填空:如图3,已知Rt$\triangle ABC$中,AB = 3,BC = 4,$\angle B = 90^{\circ}$,AD平分$\angle BAC$,则$\triangle ABD$的周长是______.

答案：
(1)证明:
∵CE//DA,
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE}$,∠2=∠ACE,∠1=∠E,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠E =∠ACE,
∴AE=AC,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$.　　
(2)$\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$

23. (12分)如图,在$\triangle ABC$中,AB = 4 cm,AC = 3 cm,BC = 6 cm,D是AC上一点,AD = 2 cm,点P从C出发沿C→B→A方向,以1 cm/s的速度运动至点A处,线段DP将$\triangle ABC$分成两部分,其中一部分与$\triangle ABC$相似,设运动时间为t s.
(1)当点P在线段BC上运动时,BP = ______,当点P在线段AB上运动时,BP = ______;(请用含t的代数式表示)
(2)求出满足条件的所有t的值.

答案： 解:
(1)(6−t)cm　(t−6)cm　
(2)
∵AC=3cm,AD=2cm,
∴CD=1cm.当点P在BC上时，如图1,当△CPD∽△CAB时,$\frac{CP}{CA}=\frac{CD}{CB}$,
∴$\frac{t}{3}=\frac{1}{6}$,解得$t=\frac{1}{2}$;当△CDP∽△CAB时,$\frac{CD}{CA}=\frac{CP}{CB}$,
∴$\frac{1}{3}=\frac{t}{6}$,解得t=2.当点P在AB上时,如图2,当△ADP∽△ACB时,$\frac{AP}{AB}=\frac{AD}{AC}$,
∴$\frac{10 - t}{4}=\frac{2}{3}$,解得$t=\frac{22}{3}$;当△ADP∽△ABC时,$\frac{AP}{AC}=\frac{AD}{AB}$,
∴$\frac{10 - t}{3}=\frac{2}{4}$,解得$t=\frac{17}{2}$.综上，满足条件的所有t的值为$\frac{1}{2}$或2或$\frac{22}{3}$或$\frac{17}{2}$.