《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册浙教版》

23. (12分)【问题引入】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式,称为海伦－秦九韶公式:如果一个三角形的三边长分别是a,b,c,记p=$\frac{a + b + c}{2}$,那么三角形的面积为S=$\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边长分别为a,b,c,若a=3,b=4,c=5,则△ABC的面积为6.
【问题探索】如图1,在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,p=$\frac{a + b + c}{2}$,⊙M是△ABC的内切圆,⊙N分别与AC的延长线、AB的延长线以及线段BC均只有一个公共点,⊙M的半径为m,⊙N的半径为n.
(1)分析与证明:如图2,连结MA,MB,MC,则△ABC被划分为三个小三角形,用S表示△ABC的面积,即S=S_{△MBC}+S_{△MCA}+S_{△MAB},那么S=pm是否成立? 请证明你的结论;
(2)理解与应用:当∠A=60°,m=2,n=6时,求△ABC的面积.

答案：
$(1)S$ $=$ $pm$成立. 证明$：∵S$ $=$ $S△MBC$ $+$ $S△MCA$ $+$ $S△MAB$ $=$ $am/2$ $+$ $bm/2$ $+$ $cm/2$ $=$ $(a$ $+$ $b$ $+$ $c)/2×m$，$p$ $=$ $(a$ $+$ $b$ $+$ $c)/2$，$∴S$ $=$ $pm.$
(2)解：如图，过点$N$分别作$AB$，$CB$，$AC$的垂线，垂足分别为点$D$，$E$，$F$，连结$AN.$ $∵⊙N$分别与$AC$的延长线、$AB$的延长线以及线段$BC$均只有一个公共点，$∴AD$，$AF$，$BC$与$⊙N$分别相切于点$D$，$F$，$E$，$∴AD$ $=$ $AF$，$CF$ $=$ $CE$，$BE$ $=$ $BD$，$∴AD$ $=$ $1/2(AD$ $+$ $AF)$ $=$ $1/2(AB$ $+$ $BD$ $+$ $AC$ $+$ $CF)$ $=$ $1/2(AB$ $+$ $BE$ $+$ $AC$ $+$ $CE)$ $=$ $1/2(AB$ $+$ $BC$ $+$ $AC)$ $=$ $p.$ $∵ND⊥AB$，$NF⊥AC$，$ND$ $=$ $NF$，$∴AN$平分$∠CAB$，$∴∠NAD$ $=$ $1/2∠CAB$ $=$ 30°.
∵在$Rt△ADN$中，$DN$ $=$ 6，$∴AD$ $=$ $√3DN$ $=$ 6√3，$∴p$ $=$ 6√3. $∴S△ABC$ $=$ $pm$ $=$ 6√3×2 $=$ 12√3.

24. (12分)如图,在□ABCD中,AB=4,BC=8,∠ABC=60°.P是射线BC上一动点,作△PAB的外接圆⊙O.
(1) 当DC所在直线与△PAB的外接圆⊙O相切时,求⊙O的半径;
(2) 直接写出⊙O与□ABCD的边的公共点的个数及对应的BP长的取值范围.

答案：
解$：(1)$如图1，取$AB$的中点$G$，过点$G$作$GF⊥AB$交$DC$的延长线于点$F$，交$BC$于点$E$，则点$O$在线段$FG$上，$∴BG$ $=$ $1/2AB$ $=$ $1/2×4$ $=$ 2. 连结$OB$，设$OB$ $=$ $OF$ $=$ $r.$ 在$Rt△OBG$中，$OG$ $=$ $√(OB²$ - $BG²)$ $=$ $√(r²$ - 4). $∵∠ABC$ $=$ 60°，
∴在$Rt△BEG$中，$BE$ $=$ $BG/cos60°$ $=$ 4，$EG$ $=$ $BG$ $tan60°$ $=$ 2√3，$∵BC$ $=$ 8，$∴EC$ $=$ $BC$ - $BE$ $=$ 4. $∵DC$与$⊙O$相切，$∴∠EFC$ $=$ 90°，$∵AB//CD$，$∴∠ECF$ $=$ $∠ABC$ $=$ 60°，$∴EF$ $=$ $EC$ $sin60°$ $=$ 2√3. $∴FG$ $=$ $EF$ $+$ $EG$ $=$ 4√3. $∵OG$ $+$ $OF$ $=$ $FG$，$∴√(r²$ - 4) $+$ $r$ $=$ 4√3，解得$r$ $=$ $13√3/6$，$∴⊙O$的半径为$13√3/6.$
(2)当$⊙O$与$□ABCD$的边有2个公共点时，$BP$ ＞ 12；当$⊙O$与$□ABCD$的边有3个公共点时，0 ＜ $BP≤4$或$BP$ $=$ 12；当$⊙O$与$□ABCD$的边有4个公共点时，4 ＜ $BP$ ＜ 12. 解析：当$AD$与$⊙O$相切时，如图2，连结$AO$并延长，交$BC$于点$H$，连结$OB$，$OP.$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$∴AD//BC$，$∵AD$与$⊙O$相切，$∴∠AHB$ $=$ $∠DAH$ $=$ 90°，$∴OH⊥BP$，$∴BH$ $=$ $HP$，$∵AP$ $=$ $AB$，又$∵∠ABC$ $=$ 60°，$∴△ABP$是等边三角形，$∴BP$ $=$ $AB$ $=$ 4，
∴当0 ＜ $BP≤4$时，$⊙O$与$□ABCD$的边有3个公共点；当$⊙O$经过点$D$时，如图3，连结$BD$，$DP.$ $∵AD//BC$，$∴∠ADB$ $=$ $∠DBP$，$∴AB$ $=$ $DP$，$∵AB$ $=$ $CD$，$∴CD$ $=$ $DP.$ $∵AB//CD$，$∴∠DCP$ $=$ $∠ABC$ $=$ 60°. $∴△CDP$是等边三角形，$∴CP$ $=$ $CD$ $=$ $AB$ $=$ 4，$∴BP$ $=$ $BC$ $+$ $CP$ $=$ 12，
∴当4 ＜ $BP$ ＜ 12时，$⊙O$与$□ABCD$的边有4个公共点；当$BP$ $=$ 12时，$⊙O$与$□ABCD$的边有3个公共点；当$BP$ ＞ 12时，$⊙O$与$□ABCD$的边有2个公共点. 点评：本题考查了垂径定理、平行四边形的性质、圆的切线的判定与性质、锐角三角函数、等边三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是根据题意画出图形，运用相关知识及数形结合与分类讨论的思想求解.