《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册浙教版》

20. (8分)如图,抛物线$y = ax^{2}+bx - 4(a\neq0)$经过点$A(5,6)$,与$x$轴的负半轴交于点$B$,与$y$轴交于点$C$,且$OC = 4OB$.
(1) 求这条抛物线的表达式;
(2) 如果点$D$在第四象限的抛物线上,且$AB\perp BD$,求点$D$的坐标.

答案： 解:
(1)由题可知$C(0,-4)$，$\therefore OC = 4$，
∵$OC = 4OB$，$\therefore OB = 1$，$\therefore B(-1,0)$，将$A$，$B$坐标分别代入$y = ax^{2}+bx - 4$，得$\begin{cases}a\times5^{2}+5b - 4 = 6\\a\times(-1)^{2}-b - 4 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = - 3\end{cases}$，$\therefore y = x^{2}-3x - 4$。
(2)连结$BD$。由$A(5,6)$，$B(-1,0)$易得$\angle ABO = 45^{\circ}$。设$D(m,n)$。
∵$AB\perp BD$，$\therefore\angle ABD = 90^{\circ}$，$\therefore\angle DBO = \angle ABD - \angle ABO = 45^{\circ}$，$\therefore n = -(m + 1)$。
∵$D(m,n)$在抛物线上，$\therefore m^{2}-3m - 4 = -(m + 1)$，解得$m_{1}= - 1$（舍去），$m_{2}=3$，$\therefore n = -(3 + 1)= - 4$，$\therefore D(3,-4)$。

21. (10分)某植物园的一块足够大的空地,其中有一堵长为$a$米的墙,现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃,中间用篱笆隔开.小俊设计了如图1和图2的两种方案:图1中$AD$的长不超过墙长;图2中$AD$的长大于墙长.
(1) 若$a = 6$,
①按图1的方案,要围成面积为25平方米的花圃,则$AD$的长是多少米?
②按图2的方案,能围成的矩形花圃的最大面积是多少?
(2) 若$0＜a＜6.5$,哪种方案能围成面积最大的矩形花圃? 请说明理由.

答案： 解:
(1)①设$AB$的长为$x$米，则$AD=(20 - 3x)$米，$\therefore x(20 - 3x)=25$，解得$x_{1}=\frac{5}{3}$，$x_{2}=5$。当$x=\frac{5}{3}$时，$AD = 20 - 3\times\frac{5}{3}=15＞6$，不符合题意，舍去；当$x = 5$时，$AD = 20 - 3\times5 = 5＜6$，符合题意，$\therefore AD = 5$米。 ②设$BC = x$，则$AB=\frac{1}{3}[20 - x-(x - 6)]=(\frac{26}{3}-\frac{2}{3}x)$米，$\therefore$矩形的面积$S = x(\frac{26}{3}-\frac{2}{3}x)=-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{26}{3}x=-\frac{2}{3}(x - \frac{13}{2})^{2}+\frac{169}{6}$，$\therefore$当$x=\frac{13}{2}$时，能围成的矩形花圃的最大面积为$\frac{169}{6}$平方米。
(2)图2的方案能围成面积最大的矩形花圃。 理由:按图1的方案，设$BC = x$米，则$AB=\frac{20 - x}{3}$米，$\therefore S=\frac{20 - x}{3}\cdot x=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}(x - 10)^{2}+\frac{100}{3}(0＜x\leqslant a)$。
∵$0＜a＜6.5$，$\therefore$当$x = a$时，$S$有最大值，此时，$S_{max}=-\frac{1}{3}a^{2}+\frac{20}{3}a$。按图2的方案，设$BC = x$米，则$AB=\frac{20-(2x - a)}{3}$米，$\therefore S=\frac{20-(2x - a)}{3}\cdot x=-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{20 + a}{3}x=-\frac{2}{3}(x - \frac{20 + a}{4})^{2}+\frac{(20 + a)^{2}}{24}(a＜x＜\frac{20 + a}{4})$。当$\frac{20 + a}{4}\leqslant a$时，$a\geqslant\frac{20}{3}$，不符合题意；当$\frac{20 + a}{4}＞a$时，$a＜\frac{20}{3}$，则当$x=\frac{20 + a}{4}$时，$S$有最大值为$\frac{(20 + a)^{2}}{24}$，
∵$0＜a＜6.5$，$\therefore\frac{(20 + a)^{2}}{24}-(-\frac{1}{3}a^{2}+\frac{20}{3}a)=\frac{3}{8}a^{2}-5a+\frac{50}{3}=\frac{3}{8}(a - \frac{20}{3})^{2}＞0$，$\therefore$按图2的方案能围成面积最大的矩形花圃。