《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册浙教版》

18. (6分)已知$y=(m - 4)x^{m^{2}-m}+2x^{2}-3x - 1$是关于x的函数.
(1) 当m为何值时,它是关于x的一次函数?
(2) 当m为何值时,它是关于x的二次函数?

答案： 解:
(1)若该函数是关于x的一次函数，
则满足$\begin{cases}{ m²-m=2 } \\ {m-4=-2} \end{cases}$
解得m=2.
∴当m=2时,该函数是y 关于x的一次函数　
(2)若该函数是关于x的二次函数，
则满足①$\begin{cases}{ m²-m=2 } \\ {m-4≠-2} \end{cases}$或②m−4=0或③m²−m=1或④m²−m=0.
由①得m=−1;
由②得m=4;由③得m=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$;
由④得m=0或m=1.
∴当m=−1或4或$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{1−\sqrt{5}}{2}$或0或1时，该函数是y关于x的二次函数.　

19. (8分)已知抛物线$y=ax^{2}+bx(a≠0)$经过点A(4,-8)和点P(m,0)(m≠0).
(1) 若点A是抛物线的顶点,则m=______;
(2) 如图,若m=2,设此时抛物线的顶点为B,求△OAB的面积.

答案： 解:
(1)8　
(2)记直线AB交x轴于点D.
∵m=2,
∴P(2,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=1,
又
∵抛物线y=a.x²+bx(a≠0)经过点A(4,−8),
$∴\begin{cases}{-\frac{b}{2a}=1 } \\ {16a+4b=-8} \end{cases}$
解得a=-1,b=2
∴y=−x²+2x,
∵y=−x²+2x=−(x−1)²+1
∴B(1,1).
设直线AB的解析式为y=kx+b.
把A(4,−8)和B(1,1)代入,
得$\begin{cases}{4k+b=-8 } \\ {k+b=1} \end{cases}$
解得k=-3,b=4
∴直线AB的解析式为y=−3x+4.
令y=0,可得x=$\frac{4}{3}$,
∴D($\frac{4}{3}$,0),
∴S△OAB=S△BOD+S△AOD=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×(1+8)=6.

20. (8分)如图,抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}+2x + c$经过点A(0,3),将该抛物线平移后,点A(0,3)到达点B(4,1)的位置.
(1) 求平移后抛物线的解析式,并在同一平面直角坐标系中画出平移后的抛物线;
(2) 过点B画平行于y轴的直线交原抛物线于点C,求线段BC的长;
(3) 若平行于y轴的直线l:x=m与两条抛物线的交点是P,Q,当线段PQ的长度超过6时,求m的取值范围.

答案： 解:
(1)
∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+2x+c经过点A(0,3),
∴c=3,
∴y=$\frac{1}{2}$x²+2x+3=$\frac{1}{2}$(x+2)²+1,
∵点A(0,3)平移后到达点B(4,1),
∴抛物线向右平移4个单位，向下平移2个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$(x+2−4)²+1−2,即y=$\frac{1}{2}$(x−2)²−1.　　图略.　
(2)把x=4代入y=$\frac{1}{2}$+2x+3,得y=$\frac{1}{2}$×16+2×4+3=19,
∴C(4,19),
又
∵B(4,1),
∴BC=19−1=18.　
(3)由题意,得|$\frac{1}{2}$m²+2m+3−$\frac{1}{2}$(m−2)²+1|＞6,
整理,得|4m+2|＞6,
解得m＞1或m＜−2.