《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册浙教版》

23. (12分)在平面直角坐标系中,设二次函数$y = ax^{2}-(2a - 2)x - 3a - 1$,实数$a\neq0$.
(1) 若二次函数图象经过点$(-2,-10)$,求这个二次函数的解析式及顶点坐标;
(2) 若二次函数图象上始终存在两个不同点,这两个点关于原点对称,求$a$的取值范围;
(3) 若$a＞0$,设点$M(m,y_{1})$,$N(n,y_{2})$是二次函数图象上两个不同点,且$m + n+2 = 0$,求证:$y_{1}+y_{2}＞-6$.

答案：
(1)解:
∵二次函数的图象经过点$(-2,-10)$，
∴$a\times(-2)^{2}-(2a - 2)\times(-2)-3a - 1 = - 10$，解得$a = - 1$，二次函数的解析式是$y = -x^{2}+4x + 2 = -(x - 2)^{2}+6$，$\therefore$顶点坐标是$(2,6)$。
(2)解:
∵二次函数图象上始终存在两个不同点，这两个点关于原点对称，
∴设这两个点的坐标是$(x,y)$与$(-x,-y)$，且$x≠0$，则$y = ax^{2}-(2a - 2)x - 3a - 1$，$-y = a(-x)^{2}-(2a - 2)(-x)-3a - 1$，两式相加，得$0 = 2ax^{2}-6a - 2$，$\therefore 2ax^{2}=6a + 2$，$\therefore x^{2}=\frac{3a + 1}{a}＞0$，$\therefore a(3a + 1)＞0$，$\therefore a＞0$或$a＜-\frac{1}{3}$。
(3)证明:由题知，$y_{1}=am^{2}-(2a - 2)m - 3a - 1$，$y_{2}=an^{2}-(2a - 2)n - 3a - 1$，$\therefore y_{1}+y_{2}=a(m^{2}+n^{2})-(2a - 2)(m + n)-6a - 2$，
∵$m + n + 2 = 0$，$\therefore m = -n - 2$，$m + n = -2$，$\therefore y_{1}+y_{2}=a[(-n - 2)^{2}+n^{2}]-(2a - 2)\times(-2)-6a - 2=a(2n^{2}+4n + 4)+4a - 4 - 6a - 2=a(2n^{2}+4n + 2)-6=2a(n + 1)^{2}-6$。
∵$m + n = -2$，$m≠n$，$\therefore n≠-1$，$\therefore(n + 1)^{2}＞0$。
∵$a＞0$，$\therefore y_{1}+y_{2}＞-6$。

24. (12分)如图,在平面直角坐标系中,直线$y = -x + 4$与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点.抛物线$y = -\frac{1}{3}(x - m)^{2}+n$的顶点$P$在直线$y = -x + 4$上,与$y$轴交于点$C$(点$P,C$不与点$B$重合),以$BC$为边作矩形$BCDE$,且$CD = 2$,点$P,D$在$y$轴的同侧.
(1) $n =$_______,点$C$的纵坐标是_________;(均用含$m$的代数式表示)
(2) 当点$P$在矩形$BCDE$的边$DE$上,且在第一象限时,求抛物线对应的函数表达式;
(3) 设矩形$BCDE$的周长为$d(d＞0)$,求$d$与$m$之间的函数表达式;
(4) 直接写出矩形$BCDE$有两个顶点落在抛物线上时$m$的值.

答案： 解:
(1)$-m + 4$ $-\frac{1}{3}m^{2}-m + 4$ 解析:
∵$y = -\frac{1}{3}(x - m)^{2}+n$，
∴$P(m,n)$。
∵点$P$在直线$y = -x + 4$上，
∴$n = -m + 4$。当$x = 0$时，$y = -\frac{1}{3}m^{2}+n = -\frac{1}{3}m^{2}-m + 4$，即点$C$的纵坐标为$-\frac{1}{3}m^{2}-m + 4$。
(2)
∵四边形$BCDE$是矩形，
∴$DE// y$轴。
∵$CD = 2$，
∴当$x = 2$时，$y = -x + 4 = 2$，
∴当点$P$在矩形$BCDE$的边$DE$上时，抛物线的顶点$P$的坐标为$(2,2)$，$\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y = -\frac{1}{3}(x - 2)^{2}+2$。
(3)
∵直线$y = -x + 4$与$y$轴交于点$B$，
∴点$B$的坐标是$(0,4)$。当点$B$与点$C$重合时，$-\frac{1}{3}m^{2}-m + 4 = 4$，解得$m_{1}=0$，$m_{2}= - 3$。①当$m＜ - 3$或$m＞0$时，如图1，2，$BC = 4-(-\frac{1}{3}m^{2}-m + 4)=\frac{1}{3}m^{2}+m$，$d = 2(\frac{1}{3}m^{2}+m + 2)=\frac{2}{3}m^{2}+2m + 4$；②当$-3＜m＜0$时，如图3，$BC = (-\frac{1}{3}m^{2}-m + 4)-4 = -\frac{1}{3}m^{2}-m$，$d = 2(-\frac{1}{3}m^{2}-m + 2)=-\frac{2}{3}m^{2}-2m + 4$。$\therefore d$与$m$之间的函数表达式是$d=\begin{cases}\frac{2}{3}m^{2}+2m + 4(m＜ - 3或m＞0)\\-\frac{2}{3}m^{2}-2m + 4(-3＜m＜0)\end{cases}$
(4)$m$的值为$1$或$-1$或$\frac{-7+\sqrt{33}}{2}$或$\frac{-7-\sqrt{33}}{2}$。 解析:如图4，5，点$C$，$D$在抛物线上时，由$CD = 2$可知对称轴为直线$x = ±1$，即$m = ±1$；如图6，7，点$C$，$E$在抛物线上时，由$B(0,4)$和$CD = 2$，得$E(-2,4)$，$\therefore 4 = -\frac{1}{3}(-2 - m)^{2}+(-m + 4)$，解得$m_{1}=\frac{-7+\sqrt{33}}{2}$，$m_{2}=\frac{-7-\sqrt{33}}{2}$。综上，$m$的值为$1$或$-1$或$\frac{-7+\sqrt{33}}{2}$或$\frac{-7-\sqrt{33}}{2}$。