《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册浙教版》

21. (10分)古希腊的毕达哥拉斯,在2500年前曾经大胆断言,一条线段(AB)的某一短线段(比如AC)与另一长线段(比如BC)之比,如果正好等于另一长线段(比如BC)同整个线段(AB)的比(即$BC^{2}=AC\cdot AB$),那么这样的比例会给人一种美感,后来我们将分割这条线段(AB)的点C称为线段AB的“黄金分割点”.在主持节目时,主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,那么在长为20米的舞台AB上,主持人从点A到点B走多少米,他的站台最得体?(取$\sqrt{2}\approx1.4,\sqrt{3}\approx1.7,\sqrt{5}\approx2.2$)

答案： 解:设主持人从点A到点B走x米到点C时，他的站台最得体，即AC=x米，
∴BC=AB−AC=(20−x)米.
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴有以下两种情况:①当$BC^{2}=AC\cdot AB$时,$(20 - x)^{2}=20x$,整理,得$x^{2}-60x + 400 = 0$,解得$x_1 = 30 - 10\sqrt{5}\approx8$,$x_2 = 30 + 10\sqrt{5}$(不合题意，舍去).②当$AC^{2}=BC\cdot AB$时,$x^{2}=20(20 - x)$,整理,得$x^{2}+20x - 400 = 0$,解得$x_1 = 10\sqrt{5}-10\approx12$,$x_2=-10\sqrt{5}-10$(不合题意，舍去).综上，主持人从点A到点B走8米或12米时，他的站台最得体.