《2025年悦然好学生必开卷七年级数学上册华师大版长春专版》

17. (6 分)如图，在平面内有$A$，$B$，$C$三点.
(1)画直线$AC$，线段$BC$，射线$AB$；
(2)在线段$BC$上任取一点$D$(不同于点$B$，$C$)，连结$AD$；
(3)数数看，此时图中线段共有6条.

答案：
17.解：
(1)
(2)如图所示.

(3)6

18. （7 分）已知一个锐角的补角等于这个角的余角的 6 倍，求这个角的度数.

答案： 18.解：设这个角为$\alpha$，则它的补角为$180^{\circ}-\alpha$，它的余角为$90^{\circ}-\alpha$，
根据题意得$180^{\circ}-\alpha=6(90^{\circ}-\alpha)$，
解得$\alpha=72^{\circ}$，
即这个角的度数为$72^{\circ}$.

19. （7 分）如图，$\angle AOB$是直角，$OP$平分$\angle AOB$，$OQ$平分$\angle AOC$，$\angle POQ = 70^{\circ}$，求$\angle AOC$的度数.

答案： 19.解：因为$\angle AOB=90^{\circ}$，OP平分$\angle AOB$，
所以$\angle POA=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×90^{\circ}=45^{\circ}$.
因为$\angle POQ=70^{\circ}$，
所以$\angle AOQ=\angle POQ-\angle POA=70^{\circ}-45^{\circ}=25^{\circ}$.
因为OQ平分$\angle AOC$，
所以$\angle AOC=2\angle AOQ=2×25^{\circ}=50^{\circ}$.

20. (7 分)如图是一个长方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数.
(1)填空：$a =$1，$b =$-3，$c =$2；
(2)先化简，再求值：$5a^{2}b - [3a^{2}b - 2(3abc^{2} - a^{2}b) + 4abc^{2}]$.

答案： 20.解：
(1)由图可知，$a$与-1所在的面相对，$b$与3所在的面相对，$c$与-2所在的面相对，
所以$a=1$，$b=-3$，$c=2$.
(2)原式$=5a^{2}b-(3a^{2}b-6abc^{2}+2a^{2}b+4abc^{2})$
$=5a^{2}b-(5a^{2}b-2abc^{2})$
$=5a^{2}b-5a^{2}b+2abc^{2}=2abc^{2}$，
当$a=1$，$b=-3$，$c=2$时，原式$=2×1×(-3)×4=-24$.

21. （8 分）如图所示，$\angle AOB$，$\angle COD$都是直角.
(1)如图①所示，试猜想$\angle AOD$，$\angle COB$在数量上存在相等、互余还是互补关系，并说明理由.
(2)当$\angle COD$绕点$O$旋转到如图②所示的位置时，原来的猜想还成立吗？请说明理由.

答案： 21.解：
(1)$\angle AOD$与$\angle COB$互补.
理由如下：因为$\angle AOB$，$\angle COD$都是直角，所以$\angle AOB=\angle COD=90^{\circ}$，
所以$\angle BOD=\angle AOD-\angle AOB=\angle AOD-90^{\circ}$，$\angle BOD=\angle COD-\angle COB=90^{\circ}-\angle COB$，
所以$\angle AOD-90^{\circ}=90^{\circ}-\angle COB$，
所以$\angle AOD+\angle COB=180^{\circ}$，
所以$\angle AOD$与$\angle COB$互补.
(2)成立.
理由如下：因为$\angle AOB$，$\angle COD$都是直角，
所以$\angle AOB=\angle COD=90^{\circ}$.
因为$\angle AOB+\angle COB+\angle COD+\angle AOD=360^{\circ}$，
所以$\angle AOD+\angle COB=180^{\circ}$，
所以$\angle AOD$与$\angle COB$互补.