《2025年全优标准卷七年级数学上册人教版》

23. (12 分)【综合与实践】主题:制作一个无盖长方体盒子.
步骤 1:按照如图所示的方式,将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形.
步骤 2:沿虚线折起来,就可以做成一个无盖的长方体盒子.
【问题分析】(1) 如果原正方形纸片的边长为 $ a $,剪去的正方形的边长为 $ b $,则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别为b、$(a - 2b)^2$、$b(a - 2b)^2$;(用含 $ a,b $ 的代数式表示)
【实践探索】(2) 如果 $ a = 20\,cm $,剪去的小正方形的边长 $ b $ 按整数值依次变化,即分别取 $ 1\,cm $, $ 2\,cm $, $ 3\,cm $, $ 4\,cm $, $ 5\,cm $, $ 6\,cm $, $ 7\,cm $, $ 8\,cm $, $ 9\,cm $, $ 10\,cm $ 时,折成的无盖长方体的容积分别是下表数据,请求出 $ m $ 和 $ n $ 的值;

【实践分析】(3) 观察绘制的统计表,你发现,随着减去的小正方形的边长的增大,所折无盖长方体盒子的容积如何变化? 当剪去图形的边长为多少时,所得的无盖长方体的容积最大,此时最大容积是多少?

答案： 23.解：
(1)b　$(a - 2b)^2$　$b(a - 2b)^2$
(2)当a = 20 cm，b = 3 cm时，$b(a - 2b)^2 = 3×(20 - 2×3)^2 = 588(cm^3)$，即m = 588；
当a = 20 cm，b = 4 cm时，$b(a - 2b)^2 = 4×(20 - 2×4)^2 = 576(cm^3)$，即n = 576.
(3)由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小；
由表中数据可知，当b = 3 cm时，容积最大，最大容积为$588 cm^3$.

24. (12 分)【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合. 研究数轴我们发现了许多重要的规律:若数轴上点 $ A $、点 $ B $ 表示的数分别为 $ a,b $,则 $ A,B $ 两点之间的距离 $ AB = |a - b| $,线段 $ AB $ 的中点表示的数为 $ \frac{a + b}{2} $.
【问题情境】如图,数轴上点 $ A $ 表示的数为 $ -2 $,点 $ B $ 表示的数为 8,点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动. 设运动时间为 $ t\,s(t ＞ 0) $.
【综合运用】
(1) 填空:
① $ A,B $ 两点间的距离 $ AB = $10,线段 $ AB $ 的中点表示的数为3;
②用含 $ t $ 的代数式表示: $ t\,s $ 后,点 $ P $ 表示的数为$-2 + 3t$,点 $ Q $ 表示的数为$8 - 2t$;
(2) 当 $ t $ 为何值时, $ P,Q $ 两点相遇? 请写出相遇点所表示的数;
(3) 当 $ t $ 为何值时, $ PQ = \frac{1}{2}AB $?
(4) 若点 $ M $ 为 $ PA $ 的中点,点 $ N $ 为 $ PB $ 的中点,则在点 $ P $ 运动的过程中,线段 $ MN $ 的长度是否发生变化? 若变化,请说明理由;若不变,请求出线段 $ MN $ 的长.

答案： 24.解：
(1)①10　3　②$-2 + 3t$　$8 - 2t$
(2)$\because$当P，Q两点相遇时，P，Q表示的数相等，$\therefore - 2 + 3t = 8 - 2t$，解得$t = 2$.
$\therefore$当$t = 2$时，点P，Q相遇，此时，$- 2 + 3t = - 2 + 3×2 = 4$，$\therefore$相遇点表示的数为4.
(3)$\because t$ s后，点P表示的数$- 2 + 3t$，点Q表示的数为$8 - 2t$，$\therefore$PQ = $|(-2 + 3t)-(8 - 2t)| = |5t - 10|$，又PQ = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}×10 = 5$，$\therefore|5t - 10| = 5$，解得$t = 1$或$3$.
$\therefore$当$t = 1$或$3$时，PQ = $\frac{1}{2}$AB.
(4)不变.
$\because$点M表示的数为$\frac{-2 + (-2 + 3t)}{2} = \frac{3t}{2}-2$，点N表示的数为$\frac{8 + (-2 + 3t)}{2} = \frac{3t}{2}+3$，$\therefore$MN = $|(\frac{3t}{2}-2)-(\frac{3t}{2}+3)| = |\frac{3t}{2}-2-\frac{3t}{2}-3| = 5$.