《2025年全优标准卷七年级数学上册人教版》

17. (7 分)已知 $ x,y $ 为有理数,规定一种新运算“※”,定义 $ x※y = xy - 2 $. 根据新运算符号的意义完成下列各题.
(1) 求 $ 2※4 $ 的值;
(2) 求 $ (1※5)※6 $ 的值;
(3) 若 $ 3※m = 13 $,求 $ m $ 的值.

答案： 17.解：
(1)原式=2×4-2=6.
(2)1※5=1×5-2=3,3※6=3×6-2=16，
即(1※5)※6的值是16.
(3)由题意，得3m-2=13，解得m=5.

18. (8 分)已知关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x + m}{3} = x - \frac{m}{2} $ 与方程 $ 3 + 4x = 2(6 - x) $ 的解互为相反数,求 $ m $ 的值.

答案： 18.解：由3+4x=2(6-x)，解得$x=\frac{3}{2}，$
$\thereforex=-\frac{3}{2}$是方程$\frac{x+m}{3}=x-\frac{m}{2}$的解，
将其代入，得$\frac{-\frac{3}{2}+m}{3}=-\frac{3}{2}-\frac{m}{2}，$
$\therefore-3+2m=-9-3m，$
解得$m=-\frac{6}{5}$

19. (8 分)已知关于 $ x $ 的方程 $ 2kx + m = x + 4 $. 当 $ k,m $ 分别为何值时:
(1) 方程有唯一解?
(2) 方程有无数个解?
(3) 方程无解?

答案： 19.解：将方程移项、合并同类项，得(2k-1)x=
4-m，
(1)由方程有唯一解，得2k-1≠0，
即$k≠\frac{1}{2}，$m为任意实数.
(2)由方程有无数个解，得2k-1=0,4-m=0，
解得$k=\frac{1}{2},m=4.$
(3)由方程无解，得2k-1=0,4-m≠0，
解得$k=\frac{1}{2},m≠4.$

20. (8 分)小嫄每天早上要到距家 $ 1000\ m $ 的学校上学. 某一天,小嫄以 $ 80\ m/min $ 的速度出发 5$min$ 后,小嫄的爸爸发现她忘了带数学课本,于是爸爸立即以 $ 180\ m/min $ 的速度去追小嫄,并且在途中追上了她. 爸爸追上小嫄用了多长时间?

答案： 20.解：设爸爸追上小嫄用了x min，
由题意，得80(x+5)=180x，
解得x=4.
答：爸爸追上小嫄用了4 min.

21. (8 分)小红解方程 $ \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{2} - 1 $ 时,在去分母的过程中,右边的 $ -1 $ 漏乘公分母 6,因而求得方程的解为 $ x = 2 $.
(1) 求 $ a $ 的值;
(2) 求出方程的正确解;
(3) 根据你的学习经验,给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项.

答案： 21.解：
(1)由题意，得x=2是方程2(2x-1)=
3(x+a)-1的解，
把x=2代入方程2(2x-1)=3(x+a)-1，
得2×(2×2-1)=3×(2+a)-1，
解得$a=\frac{1}{3}$
(2)原方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+\frac{1}{3}}{2}-1，$
去分母，得$2(2x-1)=3(x+\frac{1}{3})-6，$
去括号，得4x-2=3x+1-6，
移项，得4x-3x=2+1-6，
合并同类项，得x=-3，
$\therefore$原方程正确的解为x=-3.
(3)去分母时，不要漏乘没有分母的项.(答案不唯一)