《2025年全优标准卷七年级数学上册人教版》

19. (8 分)已知关于$x$, $y$的多项式$xy^{3} - 3x^{4} + x^{2}y^{m + 2} - 5mn$是五次四项式($m$, $n$为有理数),且单项式$5x^{4 - m}y^{n - 3}$的次数与该多项式的次数相同.
(1) 求$m$, $n$的值；
(2) 将这个多项式按$x$的降幂排列.

答案： 19.解:
(1)$\because$关于$x$，$y$的多项式$xy^{3}-3x^{4}+x^{2}y^{m + 2}-5mn$是五次四项式($m$，$n$为有理数)，
$\therefore2 + m + 2 = 5$，解得$m = 1$，
又$\because$单项式$5x^{4 - m}y^{n - 3}$的次数与该多项式的次数相同，都是$5$，
$\therefore4 - m + n - 3 = 5$，而$m = 1$，$\therefore$解得$n = 5$，
$\therefore m = 1$，$n = 5$。
(2)当$m = 1$，$n = 5$时，关于$x$，$y$的多项式就是$xy^{3}-3x^{4}+x^{2}y^{3}-25$，
这个多项式按$x$的降幂排列为$-3x^{4}+x^{2}y^{3}+xy^{3}-25$。

20. (8 分)如图,在长为$a^{2} + ab + 1$、宽为$a^{2} - 2ab$的长方形纸板上裁去一个边长为$b$的正方形.
(1) 求剩余纸板的周长$C$；(用含$a$, $b$的代数式表示)
(2) 当$a = 3$, $b = 1$时,求$C$的值.

答案： 20.解:
(1)剩余纸板的周长$C = 2(a^{2}+ab + 1 + a^{2}-2ab)=2a^{2}+2ab + 2 + 2a^{2}-4ab = 4a^{2}-2ab + 2$。
(2)当$a = 3$，$b = 1$时，
$C = 4×3^{2}-2×3×1 + 2 = 32$。

21. (8 分)先化简再求值:$2(x^{2}y + xy) - 3(x^{2}y - xy) - 4x^{2}y$,其中$x = 1$, $y = -1$.

答案： 21.解:原式$=2x^{2}y + 2xy - 3x^{2}y + 3xy - 4x^{2}y=-5x^{2}y + 5xy$，
当$x = 1$，$y = - 1$时，原式$=-5×1×(-1)+5×1×(-1)=0$。

22. (9 分)观察单项式:$x$, $-3x^{2}$, $9x^{3}$, $-27x^{4}·s·s$
(1) 你发现了什么规律?
(2) 根据你发现的规律写出第 8 个单项式；
(3) 当$x = 1$和$x = -1$时,分别求出前 8 个单项式的和.

答案： 22.解:
(1)当$n$为奇数时，单项式前面不带负号；当$x$的指数为$n$，$-3$的指数为$(n - 1)$；第$n$个单项式为$(-3)^{n - 1}x^{n}$。
(2)第$8$个单项式为$(-3)^{7}x^{8}$。
(3)当$x = 1$时，前$8$个单项式的和为$1 - 3 + 9 - 27 + 81 - 243 + 729 - 2187 = -1640$；
当$x = -1$时，前$8$个单项式的和为$-1 - 3 - 9 - 27 - 81 - 243 - 729 - 2187 = -3280$。