《2025年全优标准卷七年级数学上册人教版》

18. (8 分)已知多项式$x^{a + 1}y^{2}-x^{3}+x^{2}y - 1$是关于$x$,$y$的五次四项式,单项式$-8x^{2}y^{3}z$的次数为$b$,$c$是最小的正整数,求$(a - b)^{c + 1}$的值.

答案： 18.解：$\because$多项式$x^{a + 1}y^{2}-x^{3}+x^{2}y-1$是五次四项式，$\therefore a + 1=3$，解得$a=2$，
$\because$单项式$-8x^{2}y^{3}z$的次数为$b$，$c$是最小的正整数，$\therefore b=6,c=1$，
$\therefore(a - b)^{c + 1}=(2 - 6)^{1 + 1}=(-4)^{2}=16$.
即$(a - b)^{c + 1}$的值为$16$.

19. (8 分)已知整式$(a - 1)x^{3}-2x-(a + 3)$.
(1)若它是关于$x$的一次式,求$a$的值并写出常数项;
(2)若它是关于$x$的三次二项式,求$a$的值并写出最高次项.

答案： 19.解：
(1)若整式$(a - 1)x^{3}-2x-(a + 3)$是关于$x$的一次式，则$a - 1=0$，$\therefore a=1$，常数项为$-(a + 3)=-4$.
(2)若$(a - 1)x^{3}-2x-(a + 3)$是关于$x$的三次二项式，则$a - 1\neq0,a + 3=0$，
$\therefore a=-3$，$\therefore$最高次项为$-4x^{3}$.

20. (8 分)某同学做一道题,已知两个多项式$A$,$B$,求$A - B$的值.他误将“$A - B$”看成“$A + B$”,经过正确计算得到的结果是$x^{2}+14x - 6$,其中$A=-2x^{2}+5x - 1$.
(1)请你帮助这位同学求出正确的结果;
(2)若$x$是最大的负整数,求$A - 2B$的值.

答案： 20.解：
(1)$\because A + B=x^{2}+14x-6$，
$A=-2x^{2}+5x-1$，
$\therefore B=x^{2}+14x-6-(-2x^{2}+5x-1)=3x^{2}+9x-5$，
$\therefore A - B=-2x^{2}+5x-1-(3x^{2}+9x-5)=-5x^{2}-4x + 4$.
(2)$\because A=-2x^{2}+5x-1,B=3x^{2}+9x-5$，
$\therefore A - 2B=-2x^{2}+5x-1-2(3x^{2}+9x-5)=-8x^{2}-13x + 9$.
$\because x$是最大的负整数，$\therefore x=-1$，
$\therefore A - 2B=-8x^{2}-13x + 9=-8 + 13 + 9=14$.

21. (8 分)已知$A=-3a^{2}+7ab - 3a - 1$,$B=a^{2}-2ab + 1$.
(1)当$a = 2$,$b = 2024$时,求$A + 3B$的值;
(2)若$A + 3B$的值与$a$的取值无关,求$b$的值.

答案： 21.解：
(1)$\because A=-3a^{2}+7ab-3a-1$，
$B=a^{2}-2ab + 1$
$\therefore A + 3B=-3a^{2}+7ab-3a-1+3a^{2}-6ab + 3=ab-3a + 2$.
把$a=2,b=2024$代入上式中，
得$A + 3B=2×2024-3×2 + 2=4044$.
(2)$\because A + 3B=ab-3a + 2=(b - 3)a + 2$，
且$A + 3B$的值与$a$的值无关，$\therefore b - 3=0$，
$\therefore b=3$.