《2025年全优标准卷七年级数学上册人教版》

23. (10 分)一个三位正整数,它的百位上的数字与个位上的数字相等,我们把这样的三位正整数叫作“对称数”,101,232,555 等都是“对称数”.
(1) 填空：
① $101 - (1 + 0 + 1) =$______=$×11$；
② $232 - (2 + 3 + 2) =$______=$×25$；
③ $555 - (5 + 5 + 5) =$______=$×60$；
(2) 小红观察(1)后有一个猜想:将“对称数”减去其各位上的数字之和,所得结果能够被 9 整除. 请你再任意写出另外两个“对称数”,并通过计算验证小红的猜想；
(3) 设$aba$为一个对称数,请你通过计算和推理说明小红的猜想是正确的.

答案： 23.解:
(1)①$101-(1 + 0 + 1)=99 = 9×11$。
②$232-(2 + 3 + 2)=225 = 9×25$。
③$555-(5 + 5 + 5)=540 = 9×60$。
故答案为:①$99$ $9$ ②$225$ $9$ ③$540$ $9$。
(2)举例:$363$，$888$，
$363-(3 + 6 + 3)=351 = 9×39$；
$888-(8 + 8 + 8)=864 = 9×96$。
(答案不唯一)
(3)三位数$aba = 100a + 10b + a$，
则$100a + 10b + a-(a + b + a)=100a + 10b + a - a - b - a = 99a + 9b = 9(11a + b)$，
$\because9(11a + b)$能被$9$整除，
$\therefore100a + 10b + a-(a + b + a)$能被$9$整除，
$\therefore$小红的猜想是正确的。

24. (12 分)如图,$A$, $B$为数轴上的两个点,已知点$A$对应的数为$a$,点$B$对应的数为$b$,且$8xy^{b - 10} + (a + 8)xy - 1$是关于$x$, $y$的三次二项式. 解答下列问题：
(1) $a =$$-8$, $b =$$12$；
(2) 若数轴上有一点$C$,且$3AC = BC$,求点$C$对应的数；
(3) 若点$M$, $N$分别从点$O$, $B$出发,同时向左匀速运动,点$M$的速度为每秒$m$个单位长度,点$N$的速度为每秒 3 个单位长度,点$P$, $Q$分别为线段$AM$、线段$BN$的中点. 设运动时间为$t$ s,在点$M$, $N$的运动过程中,若$PQ + MN$的长度与$t$的取值无关,求$m$的值及$PQ + MN$的长度.

答案： 24.解:
(1)$\because8xy^{b - 10}+(a + 8)xy - 1$是关于$x$，$y$的三次二项式，$\therefore1 + b - 10 = 3$，$a + 8 = 0$，
解得$a = - 8$，$b = 12$，
故答案为:$-8$ $12$。
(2)设点$C$对应的数为$x$，
$\because3AC = BC$，$\therefore$点$C$在点$B$的左边，
$\therefore3|-8 - x|=12 - x$，
解得$x = - 18$或$x = - 3$，
即点$C$对应的数为$-3$或$-18$。
(3)$t s$后，点$M$对应的数为$-mt$，点$N$对应的数为$12 - 3t$，
$\because$点$P$，$Q$分别为线段$AM$，$BN$的中点，
$\therefore P$点对应的数为$\frac{-8 - mt}{2}$，
$Q$点对应的数为$\frac{24 - 3t}{2}$，
$\therefore MN = |-mt - 12 + 3t|=|(3 - m)t - 12|$，
$\therefore PQ =|\frac{-8 - mt}{2}-\frac{24 - 3t}{2}|$
$=|\frac{-32 - mt + 3t}{2}|$
$=\left|\frac{(3 - m)t - 32}{2}\right|$，
$\because PQ + MN$的长度与$t$无关，$\therefore m = 3$，
$\therefore PQ + MN = 16 + 12 = 28$。