《2025年全优标准卷七年级数学上册人教版》

22. (8 分)在七年级活动课上,有三位同学各拿一张卡片,卡片上分别有$A$,$B$,$C$三个代数式,三张卡片如下,其中$C$的代数式是未知的.
| $A=-2x^{2}-(k - 1)x + 1$ | $B=-2(x^{2}-x + 2)$ | $C$ |
(1)若$A$为二次二项式,则$k$的值为1；
(2)若$A - B$的结果为常数,则这个常数是5，此时$k$的值为-1；
(3)当$k=-1$时,$C + 2A = B$,求$C$.

答案： 22.解：
(1)$\because A=-2x^{2}-(k - 1)x + 1$，$A$为二次二项式，$\therefore k - 1=0$，解得$k=1$.
$\because A=-2x^{2}-(k - 1)x + 1,B=-2(x^{2}-x + 2)$，
$\therefore A - B=-2x^{2}-(k - 1)x + 1-[-2(x^{2}-x + 2)]=-2x^{2}-(k - 1)x + 1+2x^{2}-2x + 4=-(k + 1)x + 5$.
$\because A - B$的结果为常数，
$\therefore k + 1=0$，解得$k=-1$，
即若$A - B$的结果为常数，则这个常数是$5$，此时$k$的值为$-1$.
故答案为：$5$ $-1$.
(3)当$k=-1$时，$A=-2x^{2}+2x + 1$，
$\because C + 2A=B$，
$\therefore C=B - 2A=-2(x^{2}-x + 2)-2(-2x^{2}+2x + 1)=-2x^{2}+2x-4 + 4x^{2}-4x-2=2x^{2}-2x-6$.

23. (9 分)给出定义如下:我们称使等式$a - b = ab + 1$成立的一对有理数$a$,$b$为“相伴有理数对”,记为$(a,b)$.例如:因为$3-\frac{1}{2}=3×\frac{1}{2}+1$,$5-\frac{2}{3}=5×\frac{2}{3}+1$,所以数对$(3,\frac{1}{2})$,$(5,\frac{2}{3})$都是“相伴有理数对”.
(1)数对$(-2,\frac{1}{3})$,$(-\frac{1}{2},-3)$中,是“相伴有理数对”的是$(-\frac{1}{2},-3)$；
(2)若$(x + 1,5)$是“相伴有理数对”,则$x$的值是$-\frac{5}{2}$；
(3)若$(a,b)$是“相伴有理数对”,求$3ab - a+\frac{1}{2}(a + b - 5ab)+1$的值.

答案： 23.解：
(1)当$a=-2,b=\frac{1}{3}$时，
$a - b=-2-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$，
$ab + 1=-2×\frac{1}{3}+1=\frac{1}{3}$，
$\because a - b\neq ab + 1$，$\therefore(-2,\frac{1}{3})$不是“相伴有理数对”；
当$a=-\frac{1}{2},b=-3$时，
$a - b=-\frac{1}{2}-(-3)=-\frac{1}{2}+3=\frac{5}{2}$，
$ab + 1=-\frac{1}{2}×(-3)+1=\frac{5}{2}$，
$\therefore a - b=ab + 1$，$\therefore(-\frac{1}{2},-3)$是“相伴有理数对”.
故答案为：$(-\frac{1}{2},-3)$.
(2)$\because(x + 1,5)$是“相伴有理数对”，
$\therefore x + 1 - 5=(x + 1)×5 + 1$，
解得$x=-\frac{5}{2}$.
故答案为：$-\frac{5}{2}$.
(3)$3ab - a+\frac{1}{2}(a + b-5ab)+1=3ab - a+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b-\frac{5}{2}ab + 1=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b + 1=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}(a - b)+1$，
$\because(a,b)$是“相伴有理数对”，$\therefore a - b=ab + 1$，
$\therefore$原式$=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}(ab + 1)+1=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$.

24. (10 分)如图,数轴上的点$A$表示数$a$,点$B$表示数$b$,点$C$表示数$c$,其中$b$是最小的正整数,
且多项式$(a + 3)x^{3}+4x^{2}+9x + 2$是关于$x$的二次多项式,一次项系数为$c$.
(1)$a=$-3，$b=$1，$c=$9；
(2)若将数轴折叠,使得点$A$与点$C$重合,则点$B$与某数表示的点重合,求出此数;
(3)当点$A$、点$B$和点$C$分别以每秒 2 个单位长度、1 个单位长度和 4 个单位长度的速度在数轴上同时向左运动时,小明同学发现:$m· BC + 3AB$的值是个定值,求此时$m$的值.

答案： 24.解：
(1)$\because b$是最小的正整数，$\therefore b=1$.
$\because$多项式$(a + 3)x^{3}+4x^{2}+9x + 2$是关于$x$的二次多项式，
$\therefore a + 3=0$，$\therefore a=-3$.
多项式的一次项系数为$c$，$\therefore c=9$.
故答案为：$-3$ $1$ $9$.
(2)线段$AC$的中点对应的数为$\frac{-3 + 9}{2}=3$.
$\because$点$B$到$3$的距离为$2$，
$\therefore$与点$B$重合的数是$3 + 2=5$.
(3)当点$C$在点$B$右侧时：设三点运动的时间为$t$ $s$，
则$m· BC + 3AB=m(9 - 4t - 1 + t)+3(1 - t + 3 + 2t)=8m + 12+3t(1 - m)$，
$\because m· BC + 3AB$的值是个定值，
$\therefore1 - m=0$，$\therefore m=1$.
即当$m=1$时，$m· BC + 3AB$的值为定值$20$.
当点$C$在点$B$左侧时：设三点运动的时间为$t$ $s$，
则$m· BC + 3AB=m[1 - t-(9 - 4t)]+3(1 - t + 3 + 2t)=-8m + 12+3t(1 + m)$，
$\because m· BC + 3AB$的值是个定值，
$\therefore1 + m=0$，$\therefore m=-1$.
即当$m=-1$时，$m· BC + 3AB$的值为定值$20$.
综上所述，当$m=\pm1$时，
$m· BC + 3AB$的值为定值$20$.