《2025年全优标准卷七年级数学上册人教版》

19. (7 分)为了提升居民的幸福指数,某居民小组规划将一长为$(3a + b)m$、宽为$(3a - b)m$的长方形场地打造成居民健身场所,如图所示,具体规划为:在这个场地中分割出一块长为 b m、宽为$(a - b)m$的长方形场地建篮球场,其余的地方安装各种健身器材.
(1)求安装健身器材区域的面积;
(2)若$a = 15,b = 10$,求安装健身器材区域的面积.

答案： 19.解：
(1)(3a+b)(3a−b)−b(a−b)=9a²−3ab−3ab−b²−ab+b²=9a²−ab.
答：安装健身器材区域的面积为(9a²−ab)m².
(2)
∵a=15,b=10，
∴9a²−ab=9×15²−15×10=1875(m²).
答：安装健身器材区域的面积为1875m².

20. (8 分)某天下午,出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天下午载客行车里程(单位:km)如下:$+3,+10,-5,+6,-4,-3,+12,-8,-6,+7,-21$.
(1)最后一次营运结束时,小王距离下午出车时的出发地多远?
(2)若汽车的耗油量为 0.2 L/km,则这天下午小王的车共耗油多少升?
(3)该市出租车按里程计费标准为:不超过 3 km,收费 9 元,超过 3 km 的部分,按每千米 2 元收费,则这天下午小王前三次营运的总收入为多少元?

答案： 20.解：
(1)+3+10−5+6−4−3+12−8−6+7−21=−9，
答：最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地9km.
(2)(3+10+5+6+4+3+12+8+6+7+21)×0.2=17(L).
答：这天下午小王的车共耗油17L.
(3)第一次的里程为3km，不超过3km，收费为9元；
第二次的里程为10km，超过3km，收费为9+(10−3)×2=23(元)；
第三次的里程为5km，超过3km，收费为9+(5−3)×2=13(元)，
∴总收入为9+23+13=45(元).
答：这天下午小王前三次营运的总收入为45元.

21. (8 分)定义一种新运算“★”:$1★3 = 1×5 - 3 = 2;3★(-1) = 3×5 - (-1) = 15 + 1 = 16$.观察上述各式的运算方法,解答下列问题:
(1)请按照以上新运算“★”的运算方法,写出$a★b$的运算表达式;
(2)若$(y + 2)★(1 - 3y) = 1$,求 y 的值.

答案： 21.解：
(1)由题意，得a★b=5a−b.
(2)
∵(y+2)★(1−3y)=1，
∴5(y+2)−(1−3y)=1，
解得y=−1.

22. (8 分)已知$A + 2B = 3a^{2}-4ab,B = -5a^{2}+6ab - 7$.
(1)用含有 a,b 的代数式表示 A;
(2)当$a = -1,b = -2$时,求 A 的值.

答案： 22.解：
(1)
∵A+2B=3a²−4ab，
∴A=3a²−4ab−2B
=3a²−4ab−2(−5a²+6ab−7)
=3a²−4ab+10a²−12ab+14
=13a²−16ab+14.
(2)当a=−1,b=−2时，
A=13×(−1)²−16×(−1)×(−2)+14=13−32+14=−5.