《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册湘教版》

16. (15分)已知$x= \frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y= \frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$,求下列各式的值：
(1)$x^2 - xy + y^2$；
(2)$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$。

答案：
(1)因为$x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})$,$y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$,所以$x+y=\sqrt{7}$,$xy=\frac{1}{2}$.$x^{2}-xy+y^{2}=(x+y)^{2}-3xy=7-\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$.
(2)$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=\frac{(x+y)^{2}-2xy}{xy}=\frac{7-1}{\frac{1}{2}}=12$.

17. (14分)综合与实践
【问题情境】
如图3,有一张边长为$6\sqrt{2}cm$的正方形纸板,现将该纸板的四个角剪掉,且剪掉的四个角都是边长为$\sqrt{2}cm$的小正方形。
【问题解决】
(1)求剪掉四个角后的纸板的面积。
【拓展应用】
(2)将剩余的纸板制作成一个有底无盖的长方体盒子,求长方体盒子的体积。

答案：
(1)剪掉四个角后的纸板的面积为$(6\sqrt{2})^{2}-4×(\sqrt{2})^{2}=72-8=64(cm^{2})$.
(2)长方体盒子的体积为$(6\sqrt{2}-2\sqrt{2})^{2}×\sqrt{2}=(4\sqrt{2})^{2}×\sqrt{2}=32\sqrt{2}(cm^{3})$.

18. 理解与运用
【问题情境】在解决问题“已知$a= \frac{1}{\sqrt{2}-1}$,求代数式$3a^2 - 6a - 1$的值”时,小明是这样分析与解答的：
因为$a= \frac{1}{\sqrt{2}-1}= \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}= \sqrt{2}+1$,
所以$a - 1= \sqrt{2}$。
所以$(a - 1)^2 = 2$,即$a^2 - 2a + 1 = 2$。
所以$a^2 - 2a = 1$。
所以$3a^2 - 6a = 3$。
所以$3a^2 - 6a - 1 = 2$。
【问题解决】请根据小明的分析过程,解决下列问题：
(1)化简：$\frac{2}{3 - \sqrt{7}}$。
(2)已知$a= \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$,求$2a^2 - 12a + 1$的值。

答案：
(1)$\frac{2}{3-\sqrt{7}}=\frac{2(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}=\frac{2(3+\sqrt{7})}{9-7}=3+\sqrt{7}$.
(2)因为$a=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}=3-2\sqrt{2}$,所以$a-3=-2\sqrt{２}$.所以$(a-3)^{2}=8$,即$a^{2}-6a+9=8$.所以$a^{2}-6a=-1$.所以$2a^{2}-12a=-2$.故$2a^{2}-12a+1=-2+1=-1$.