《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册湘教版》

7. [2024山东泰安中考]
如图15,直线$l // m$,等边三角形$ABC的两个顶点B$,$C分别落在直线l$,$m$上,若$\angle ABE = 21^{\circ}$,则$\angle ACD$的度数是( )。

A.$45^{\circ}$
B.$39^{\circ}$
C.$29^{\circ}$
D.$21^{\circ}$

答案：
B 提示:(方法一)如图25,过点A作AF//l,则∠BAF=∠ABE=21°.因为直线l//m,所以AF//m.所以∠ACD=∠CAF.因为△ABC是等边三角形,所以∠BAC=60°,即∠BAF+∠CAF=60°.所以∠ACD=∠CAF=∠BAC-∠BAF=39°.

(方法二)因为△ABC是等边三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°.因为l//m,所以∠EBC+∠DCB=180°.所以∠ACD=180°-∠ABE-∠ABC-∠ACB=180°-21°-60°-60°=39°.

8. 如图16,点$B$,$C$,$D$在同一条直线上,$\triangle ABC和\triangle CDE$都是等边三角形,$BE交AC于点F$,$AD交CE于点H$,连接$FH$。
求证：(1)$\triangle BCE \cong \triangle ACD$；
(2)$\triangle FCH$是等边三角形。

答案：
(1)证明:因为△ABC和△CDE都是等边三角形,所以∠BCA=∠DCE=60°,BC=AC=AB,EC=CD=ED.所以∠BCE=∠ACD.在△BCE和△ACD中,$\left\{\begin{array}{l} BC=AC,\\ ∠BCE=∠ACD,\\ CE=CD,\end{array}\right. $所以△BCE≌△ACD(边角边).
(2)因为△BCE≌△ACD,所以∠CBF=∠CAH.因为∠ACB=∠DCE=60°,所以∠ACH=60°.所以∠BCF=∠ACH.在△BCF和△ACH中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CBF=∠CAH,\\ BC=AC,\\ ∠BCF=∠ACH,\end{array}\right. $所以△BCF≌△ACH(角边角).所以CF=CH.又因为∠ACH=60°,所以△FCH是等边三角形.

9. 综合与探究
【问题情境】在等边三角形$ABC$中,$P是边AC$上的一个定点,$M是直线BC$上的一个动点,以$PM为边在PM的右侧作等边三角形PMN$,连接$CN$。
【特例研究】(1)如图17,当点$M在线段BC$上时,过点$P作PH // AB交BC于点H$。
①此时$\triangle PHC$的形状是______；$PH与PC$的数量关系是______。
②试猜想$CP$,$CN$,$CM$之间的数量关系,并说明理由。
【拓展探究】(2)如图18,当点$M在BC$的延长线上时,(1)中的猜想是否依然成立？若成立,则请说明理由；若不成立,则请写出正确的猜想(不需要说明理由)。

答案：

(1)①等边三角形 PH=PC 提示:因为△ABC是等边三角形,所以∠A=∠B=∠ACB=60°.因为PH//AB,所以∠CPH=∠A=60°,∠PHC=∠ABC=60°.所以∠CPH=∠PHC=∠PCH=60°.所以△PHC是等边三角形.所以PH=PC.
②CM=CN+CP.理由:因为△PMN和△PHC是等边三角形,所以PM=PN,PH=PC=CH,∠CPH=∠MPN=60°.所以∠MPH=∠NPC.在△MPH和△NPC中,$\left\{\begin{array}{l} PM=PN,\\ ∠MPH=∠NPC,\\ PH=PC,\end{array}\right. $所以△MPH≌△NPC(边角边).所以HM=CN.所以CM=HM+CH=CN+CP.
(2)当点M在BC的延长线上时,
(1)中的猜想不成立,正确的猜想是CN=CM+CP. 提示:如图26,过点P作PH//AB,交BC于点H.因为△ABC和△PMN是等边三角形,所以∠A=∠B=∠ACB=60°,PM=PN,∠MPN=60°.因为PH//AB,所以∠CPH=∠A=60°,∠PHC=∠B=60°.所以∠CPH=∠PHC=∠PCH=60°.所以△PHC是等边三角形.所以PH=PC=CH.因为∠CPH=∠MPN=60°,所以∠MPH=∠NPC.在△MPH和△NPC中,$\left\{\begin{array}{l} PM=PN,\\ ∠MPH=∠NPC,\\ PH=PC,\end{array}\right. $所以△MPH≌△NPC(边角边).所以CN=HM.因为HM=CM+CH=CM+CP,所以CN=CM+CP.