《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册湘教版》

4. 从爱惜水做起,牢固树立“节约水光荣,浪费水可耻”的信念,才能时时处处注意节水。某绿化队原来用漫灌方式浇绿地,$ a $ 天用水 $ m $ t,现在改用喷灌方式,可使这些水多用 $ 3 $ 天。现在比原来每天节约用水 ______ t。

答案： $\frac{m}{a}-\frac{m}{a+3}$

5. 已知分式 $ \frac{|x| - 2}{x + 2} $。
(1)当 $ x $ 取 ______ 时,它的值不存在。
(2)当 $ x $ 取 ______ 时,它的值为 $ 0 $。
(3)当 $ x $ 取 $ 3 $ 时,它的值是 ______。

答案：
(1)-2；
(2)2；
(3)$\frac{1}{5}$

6. 根据下表信息(* 表示某个实数),$ y $ 表示的代数式可能是( )。
| $ x $ | … | $ -2 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | … |
| $ y $ | … | * | 不存在 | * | * | $ 0 $ | … |

A.$ \frac{x + 2}{x - 1} $
B.$ \frac{x - 2}{x + 1} $
C.$ \frac{x + 2}{x + 1} $
D.$ \frac{x - 2}{x - 1} $
小锦囊 根据 $ x $ 取 $ -1 $ 时 $ y $ 的值不存在判断分母,$ x $ 取 $ 2 $ 时 $ y $ 的值为 $ 0 $ 判断分子。

答案： B 提示:当x取-1时,分式的值不存在,即分母为0,排除选项A,D.当x取2时,分式的值为0,即分子为0,排除选项C,故只有选项B符合题意.

7. 理解与运用
【阅读材料】 除了分式的定义,我们还知道“两数相除,同号得正”。
【数学思考】 已知分式 $ \frac{x - 1}{2 - 3x} $。
(1)当 $ x = $ ______ 时,$ \frac{x - 1}{2 - 3x} $ 的值不存在。
(2)当 $ x = $ ______ 时,$ \frac{x - 1}{2 - 3x} $ 的值等于 $ 0 $。
(3)当 $ x = -2 $ 时,$ \frac{x - 1}{2 - 3x} $ 的值为 ______。
【深入探究】 (4)当 $ x $ 满足什么条件时,$ \frac{x - 1}{2 - 3x} $ 的值是正数？

答案：
(1)$\frac{2}{3}$；
(2)1；
(3)$-\frac{3}{8}$；
(4)由分式的值为正数,可得①$\left\{\begin{array}{l} x-1＞0,\\ 2-3x＞0\end{array}\right. $或②$\left\{\begin{array}{l} x-1＜0,\\ 2-3x＜0.\end{array}\right. $由不等式组①得$\left\{\begin{array}{l} x＞1,\\ x＜\frac{2}{3}.\end{array}\right. $此方程组无解.解不等式组②得$\frac{2}{3}＜x＜1$.所以当$\frac{2}{3}＜x＜1$时,分式的值为正数.

8. [新定义题]小明是一个电脑爱好者,他在电脑里设计了一个程序,先输入数 $ a $,再输入★,最后输入数 $ b $,电脑就按照 $ \frac{2a - b}{a + 2b} $ 自动显示出结果。
(1)当小明输入 $ 1★(-2) $ 时,请你计算电脑显示的结果。
(2)当小明再次输入时,电脑显示“此操作无法进行”,小明回看了输入的数据,发现输入的 $ b $ 是 $ 4 $,你知道他输入的 $ a $ 是多少吗？

答案：
(1)将$a=1,b=-2$代入得$\frac{2a-b}{a+2b}=\frac{2×1-(-2)}{1+2×(-2)}=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}.$；
(2)由此操作无法进行,可以判断$a+2b=0$.将$b=4$代入,得$a+2×4=0$,解得$a=-8.$