《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册湘教版》

6. 已知$a = \frac{1}{5}$,$b = 3$,求$2a\sqrt{8ab} \cdot (-\frac{2}{3}\sqrt{6a^2b}) \cdot \sqrt{3a}$的值。

答案： 解:原式$= 2a \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot 1 \cdot \sqrt{8ab \cdot 6a^{2}b \cdot 3a} = -\frac{4}{3}a \cdot 12a^{2}b = -16a^{3}b$.当$a = \frac{1}{5}$,$b = 3$时,原式$= -16 × (\frac{1}{5})^{3} × 3 = -\frac{48}{125}$.

7. 把一个长方体的塑料容器装满水,该塑料容器的底面是一个长为$\sqrt{5}m$、宽为$\sqrt{2}m$的长方形,现将塑料容器中的一部分水倒入一个圆柱形玻璃容器,当玻璃容器装满水时,塑料容器中的水面下降了$\sqrt{\frac{3}{2}}m$。求圆柱形玻璃容器的容积。

答案： 解:$\sqrt{5} × \sqrt{2} × \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{15}({m^{3}})$.答:圆柱形玻璃容器的容积为$\sqrt{15}\ {m^{3}}$.

8. 思考与探究
【问题情境】
观察下列各式,并解决问题。
①$\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}}$；②$\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}}$；
③$\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{1}{5}}$；④$\sqrt{4 + \frac{1}{6}} = 5\sqrt{\frac{1}{6}}$；
……
【初步感知】
(1)第⑤个式子是______。
【猜想验证】
(2)请写出第$n$个等式(用含$n$的式子表示),并验证。
【拓展应用】 (3)计算：$\sqrt{99 + \frac{1}{101}} × \sqrt{199 + \frac{1}{201}} × \sqrt{402} × \sqrt{101}$。

答案： 解:
(1)$\sqrt{5 + \frac{1}{7}} = 6\sqrt{\frac{1}{7}}$
(2)第$n$个等式为$\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}} = (n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$.验证:$\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}} = \sqrt{\frac{n(n + 2) + 1}{n + 2}} = \sqrt{\frac{n^{2} + 2n + 1}{n + 2}} = \sqrt{\frac{(n + 1)^{2}}{n + 2}}$.因为$n$为正整数,所以$n + 1 ＞ 0$.所以$\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}} = (n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$.
(3)由
(2)中$\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}} = (n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$,得$\sqrt{99 + \frac{1}{101}} × \sqrt{199 + \frac{1}{201}} × \sqrt{402} × \sqrt{101} = 100\sqrt{\frac{1}{101}} × 200\sqrt{\frac{1}{201}} × \sqrt{402} × \sqrt{101} = 100 × 200 × (\sqrt{\frac{1}{101}} × \sqrt{101}) × (\sqrt{\frac{1}{201}} × \sqrt{402}) = 20000\sqrt{2}$.