《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册湘教版》

5. 先化简分式,再求值：$\frac{16}{a^2 - 4}+\frac{a + 2}{a - 2}-\frac{a^2 - 4}{a^2 + 4a + 4}$,其中$a = 4$。

答案： 解:原式$=\frac{16}{(a+2)(a-2)}+\frac{a+2}{a-2}-\frac{(a+2)(a-2)}{(a+2)^2}=\frac{16}{(a+2)(a-2)}+\frac{a+2}{a-2}-\frac{a-2}{a+2}=\frac{16}{(a+2)(a-2)}+\frac{(a+2)^2}{(a+2)(a-2)}-\frac{(a-2)^2}{(a+2)(a-2)}=\frac{8(a+2)}{(a+2)(a-2)}=\frac{8}{a-2}$.当$a=4$时,原式$=\frac{8}{4-2}=4$.

6. 已知$\frac{A}{x - 1}-\frac{B}{2 - x}= \frac{2x - 6}{(x - 1)(x - 2)}$,则$A$的值为____,$B$的值为____。

答案： 4 -2 提示:因为$\frac{A}{x-1}-\frac{B}{2-x}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{(A+B)x-2A-B}{(x-1)(x-2)}=\frac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$,所以$\begin{cases} A+B=2, \\ -2A-B=-6. \end{cases}$解得$\begin{cases} A=4, \\ B=-2. \end{cases}$

7. 小明和小强一起做分式的游戏,如图 2,他们面前各有$3$张牌(互相可以看到对方的牌),两人各自从自己的牌中选$2$张不同的牌,用上面的式子分别作为分子和分母,组成一个分式,然后两人取一个相同的$x$的值,计算分式的值,值大者获胜。为使分式有意义,他们约定$x是大于3$的正整数。
小明的牌：$x + 1$,$x + 2$,$x + 3$

小强的牌：$x - 1$,$x - 2$,$x - 3$
(1)小明组成的分式中值最大的分式是____,小强组成的分式中值最大的分式是____。
(2)小强思考了一下,说：“虽然我是$3$张带减号的牌,但最终的胜者一定是我。”小强说的有道理吗？请你通过计算说明。

答案：
(1)$\frac{x+3}{x+1}$ $\frac{x-1}{x-3}$；
(2)解:小强说的有道理.理由如下:$\frac{x-1}{x-3}-\frac{x+3}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-3)(x+1)}-\frac{(x+3)(x-3)}{(x+1)(x-3)}=\frac{x^2-1-(x^2-9)}{(x+1)(x-3)}=\frac{8}{(x+1)(x-3)}$.因为$x$是大于3的正整数,所以$(x+1)(x-3)＞0$.所以$\frac{8}{(x+1)(x-3)}＞0$.所以$\frac{x-1}{x-3}＞\frac{x+3}{x+1}$.故小强说的有道理.

8. 【观察分析】观察下列各式：
$\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}= \frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 2}$；
$\frac{1}{(x + 2)(x + 3)}= \frac{1}{x + 2}-\frac{1}{x + 3}$；
$\frac{1}{(x + 3)(x + 4)}= \frac{1}{x + 3}-\frac{1}{x + 4}……$
【归纳总结】(1)由上述式子可以归纳出的一般结论是($n为大于或等于1$的整数)$\frac{1}{(x + n)(x + n + 1)}= $____。
【理解应用】(2)利用上述结论,计算$\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}+\frac{1}{(x + 2)(x + 3)}+…+\frac{1}{(x + 99)(x + 100)}$。

答案：
(1)$\frac{1}{x+n}-\frac{1}{x+n+1}$；
(2)解:原式$=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\cdots+\frac{1}{x+99}-\frac{1}{x+100}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+100}=\frac{x+100-x-1}{(x+1)(x+100)}=\frac{99}{(x+1)(x+100)}$