《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册湘教版》

5. 如图9,$\angle A = \angle B$,$CE // DA$,$\angle ECB = 60^{\circ}$。求证：$\triangle BCE$是等边三角形。

答案： 证明:因为CE//DA,所以∠A=∠BEC.又因为∠A=∠B,所以∠B=∠BEC.所以△BCE是等腰三角形.又因为∠ECB=60°,所以△BCE是等边三角形.

1. [教材第135页习题4.5第4题变式]如图10,已知$\triangle ABC$是等边三角形,点$B$,$C$,$D$,$E$在同一条直线上,且$CG = CD$,$DF = DE$,则$\angle E$的度数为( )。

A.$25^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$15^{\circ}$
D.$7.5^{\circ}$

答案： C

2. 在$\triangle ABC$中,$\angle A = 60^{\circ}$,添加下列一个条件后,仍不能判定$\triangle ABC$为等边三角形的是( )。

A.$AB = AC$
B.$AB \perp BC$
C.$\angle B = \angle C$
D.$\angle A = \angle C$

答案： B

3. [开放性题]小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图11,请帮他在括号内填上一个适当的条件：______。

答案： ∠A=60°(答案不唯一)

4. 如图12,在一个池塘两旁有一条笔直的小路($B$,$C$为小路端点)和一棵小树(点$A$为小树位置)。测得$\angle ABC = \angle ACB = 60^{\circ}$,$BC = 48$ m,则$AC$的长为______ m。

答案： 48

5. [教材第135页习题4.5第4题改编]
如图13,$\triangle ABC$是等边三角形,$D是AC$边上一点,$E是BC$延长线上一点,连接$BD和DE$,$\angle ABD = 40^{\circ}$,$BD = DE$。求$\angle CDE$的度数。

答案： 解:因为△ABC是等边三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°.因为∠ABD=40°,所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-40°=20°.因为BD=DE,所以∠E=∠DBC=20°.所以∠CDE=∠ACB-∠E=60°-20°=40°.

6. [教材第136页第11题变式]
如图14,在等边三角形$ABC$的三边上,分别取点$D$,$E$,$F$,使$AD = BE = CF$。求证：$\triangle DEF$是等边三角形。

答案： 证明:因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.又因为AD=CF,所以AF=BD.在△ADF和△BED中,$\left\{\begin{array}{l} AD=BE,\\ ∠A=∠B,\\ AF=BD,\end{array}\right. $所以△ADF≌△BED(边角边).所以DF=ED.同理可得ED=EF.所以DF=ED=EF.所以△DEF是等边三角形.