《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册湘教版》

6. 已知$n$是正整数,$\sqrt{48n}$是整数,求$n$的最小值。
小锦囊
将二次根式化简,看看缺哪个因数能让根号下的数成为完全平方数,从而求得$n$的值。

答案： 解:因为√(48n)=√(4²×3n)=√4²×√(3n)=4√(3n),√(48n)是整数,n是正整数,所以n的最小值为3.

7. [传统文化]团扇是我国传统工艺品,代表着团圆友善、吉祥如意。某社团组织学生制作团扇,扇面有圆形和正方形两种,每种扇面的面积均为$400cm^{2}$。完成扇面后,需对扇面边缘用绑带进行包边处理(接口处长度忽略不计),如右图所示。

(1) 圆形团扇的半径为______$cm$(结果保留$\pi$),正方形团扇的边长为______$cm$。
(2) 请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短。

答案：
(1)20√π/π 20
(2)因为圆形团扇半径为20√π/πcm,正方形团扇的边长为20cm,所以圆形团扇的周长为2×π×20√π/π=40√π(cm),正方形团扇的周长为4×20=80(cm).因为40√π＜40√4=80,所以圆形团扇所用的包边长度更短.

8. [教材第 84 页第 10 题改编]
【探究发现】 观察下列式子：
$\sqrt{2\frac{2}{3}}= \sqrt{\frac{8}{3}}= \sqrt{\frac{2^{2}×2}{3}}= 2\sqrt{\frac{2}{3}}$,
$\sqrt{3\frac{3}{8}}= \sqrt{\frac{27}{8}}= \sqrt{\frac{3^{2}×3}{8}}= 3\sqrt{\frac{3}{8}}$,
$\sqrt{4\frac{4}{15}}= \sqrt{\frac{64}{15}}= \sqrt{\frac{4^{2}×4}{15}}= 4\sqrt{\frac{4}{15}}$。
【猜想验证】 (1) 猜想：$\sqrt{5\frac{5}{24}}= $______。请验证你的猜想。
【推理证明】 (2) 请你用一个含$n$($n$为正整数,$n\geq2$)的等式表示上述规律,并说明其正确性。
【结论应用】 (3) 按此规律,可得$\sqrt{10\frac{10}{99}}= $______,$\sqrt{100\frac{100}{9999}}= $______。

答案：
(1)5√(5/24) 验证:√(5 5/24)=√((24×5+5)/24)=√(5²×5/24)=5√(5/24).
(2)√(n n/(n²-1))=n√(n/(n²-1)). 说明:√(n n/(n²-1))=√((n³-n+n)/(n²-1))=√(n²·n/(n²-1))=n√(n/(n²-1)).
(3)10√(10/99) 100√(100/9999)