《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册湘教版》

4. 计算：
(1)$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$；
(2)$\dfrac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}$。

答案： 4.解:
(1)原式$=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}×\sqrt{5}-\sqrt{5}×\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{5-\sqrt{15}}{5-3}=\frac{5-\sqrt{15}}{2}$.
(2)原式$=\frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}+\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}-3}{1-3}+\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{1-3}=\frac{\sqrt{3}-3+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{-2}=\frac{3-\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$.

1. 下列各式计算错误的是( )。

A.$3\sqrt{3}-\sqrt{3}= 3$
B.$\sqrt{8}÷ 2= \sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}= \sqrt{6}$
D.$\sqrt{8}+\sqrt{2}= 3\sqrt{2}$

答案： A

2. 估计$\sqrt{\dfrac{1}{5}}×(\sqrt{45}+\sqrt{15})$的值在( )。

A.$3和4$之间
B.$4和5$之间
C.$5和6$之间
D.$6和7$之间

答案： B 提示:原式$=\sqrt{\frac{1}{5}}×\sqrt{45}+\sqrt{\frac{1}{5}}×\sqrt{15}=\sqrt{9}+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$.因为$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$,所以$1＜\sqrt{3}＜2$.所以$4＜3+\sqrt{3}＜5$.

3. 若$(2+\sqrt{3})^2= a + b\sqrt{3}$($a$,$b$为整数),则$a + b$的值是( )。

A.$7$
B.$9$
C.$11$
D.$12$

答案： C 提示:因为$(2+\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$,所以$a=7$,$b=4$.所以$a+b=11$.

4. 计算：$(\sqrt{11}-\sqrt{9})(\sqrt{11}+\sqrt{9})= $______。

答案： 2

5. 计算$(5\sqrt{48}+\sqrt{12}-6\sqrt{27})÷\sqrt{3}$的结果是______。

答案： 4

6. 计算：
(1)$\dfrac{1}{4+\sqrt{7}}-\dfrac{1}{4-\sqrt{7}}$；
(2)$\sqrt{21}×\sqrt{\dfrac{1}{7}}-(\sqrt{3}-1)^2+\sqrt{39}÷\sqrt{13}$。

答案： 6.解:
(1)原式$=\frac{4-\sqrt{7}}{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}-\frac{4+\sqrt{7}}{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}=\frac{4-\sqrt{7}-4-\sqrt{7}}{4^2-(\sqrt{7})^2}=-\frac{2\sqrt{7}}{9}$.
(2)原式$=\sqrt{21×\frac{1}{7}}-(3-2\sqrt{3}+1)+\sqrt{\frac{39}{13}}=\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}+\sqrt{3}=4\sqrt{3}-4$.

7. [教材第80页第7题改编]
设$a= -1+\sqrt{5}$,$b= -1-\sqrt{5}$。
(1)求$a + b$,$\dfrac{b}{a}$的值。
(2)求$b^2+2b+1$,$a^2-2ab+b^2$的值。
8. 如右图,某小区有一块长方形空地$ABCD$,长$BC为\sqrt{72}$m,宽$AB为\sqrt{32}$m。现要在空地中间修建一个小长方形花坛(阴影部分),小长方形花坛的长为$(\sqrt{10}+1)$m,宽为$(\sqrt{10}-1)$m。

(1)求长方形空地$ABCD$的周长。
(2)除了修建花坛的地方,其他空地全修建成步道,步道上要铺价格为$60$元/m^2的地砖,则购买地砖需花费多少元？(不计损耗)

答案： 7.解:
(1)因为$a=-1+\sqrt{5}$,$b=-1-\sqrt{5}$,所以$a + b=-1+\sqrt{5}+(-1-\sqrt{5})=-2$,$\frac{b}{a}=\frac{-1-\sqrt{5}}{-1+\sqrt{5}}=\frac{(-1-\sqrt{5})^2}{(-1+\sqrt{5})(-1-\sqrt{5})}=\frac{6+2\sqrt{5}}{-4}=-\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
(2)$b^2+2b+1=(b+1)^2=(-1-\sqrt{5}+1)^2=(-\sqrt{5})^2=5$,$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2=[-1+\sqrt{5}-(-1-\sqrt{5})]^2=(2\sqrt{5})^2=20$. 8.解:
(1)$2(\sqrt{72}+\sqrt{32})=2(6\sqrt{2}+4\sqrt{2})=2×10\sqrt{2}=20\sqrt{2}\ (m)$.答:长方形空地$ABCD$的周长为$20\sqrt{2}\ m$.
(2)步道的面积为$\sqrt{72}×\sqrt{32}-(\sqrt{10}+1)(\sqrt{10}-1)=6\sqrt{2}×4\sqrt{2}-(10-1)=48-9=39\ (m^2)$.则$39×60=2340$(元).答:购买地砖需花费2340元.