《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册湘教版》

5. 先化简,再求值：$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}-\frac{x}{x - 1}$,其中$x = 5$。

答案： 解:原式$=\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}-\frac{x}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}-\frac{x}{x-1}=\frac{x+1-x}{x-1}=\frac{1}{x-1}$.将$x=5$代入,得原式$=\frac{1}{5-1}=\frac{1}{4}$.

6. 已知两个式子：$A= \frac{4}{x^2 - 4}$,$B= \frac{x - 4}{x^2 - 4}+\frac{x}{4 - x^2}$,则$A与B$的关系是( )。

A.相等
B.互为相反分式
C.互为倒数
D.$A ＞ B$

答案： B 提示:$B=\frac{x-4}{x^2-4}-\frac{x}{x^2-4}=\frac{x-4-x}{x^2-4}=-\frac{4}{x^2-4}$,所以A与B互为相反分式.

7. [2024 山东淄博中考]化简分式$\frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2}+\frac{1 - a - b}{a - b}$,并求值。(请从小宇和小丽的对话中确定$a$,$b$的值)

小宇：$a是3$的相反数。
小丽：$b是大于1且小于\sqrt{5}$的整数。

答案： 解:原式$=\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2}+\frac{1-a-b}{a-b}=\frac{a+b}{a-b}+\frac{1-a-b}{a-b}=\frac{1}{a-b}$.由题意,得$a=-3$,$b=2$.故原式$=\frac{1}{-3-2}=-\frac{1}{5}$.

8. 理解与运用
【阅读材料】对于形如$\frac{x^2 + ax + b}{x + c}$的分式,我们可以通过观察分母的特征,采取“凑分母”的方法将分式变形,最终表示成整式与分式和(差)的形式或整式的形式。
例如：
$\frac{x^2 + x + 1}{x}= \frac{x^2 + x}{x}+\frac{1}{x}= x + 1+\frac{1}{x}$,
$\frac{x^2 + x + 1}{x - 1}= \frac{x(x - 1)}{x - 1}+\frac{2x + 1}{x - 1}= x+\frac{2(x - 1) + 3}{x - 1}= x + 2+\frac{3}{x - 1}$。
【初步尝试】(1)分式$\frac{x^2 - 2x + 3}{x}可以表示成P+\frac{3}{x}$的形式,且$P$为整式,用含$x的式子表示P$,结果为____。
【深入探究】(2)已知$m$为整数。
①若$\frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}$可以表示成一个整式,求$m$的值。
②若$m = 5$,$x$为整数,且$\frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}$的结果也为整数,请直接写出$x$的值。

答案：
(1)$x-2$ 提示:$\frac{x^2-2x+3}{x}=\frac{x^2-2x}{x}+\frac{3}{x}=\frac{x(x-2)}{x}+\frac{3}{x}=x-2+\frac{3}{x}$.故$P=x-2$；
(2)①解:$\frac{x^2-3x+m}{x-1}=\frac{x^2-x}{x-1}+\frac{-2x+m}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}+\frac{-2(x-1)+m-2}{x-1}=x-\frac{2(x-1)}{x-1}+\frac{m-2}{x-1}=x-2+\frac{m-2}{x-1}$.因为$\frac{x^2-3x+m}{x-1}$可以表示成一个整式,所以$\frac{m-2}{x-1}=0$,即$m-2=0$.解得$m=2$；②x的值为4或2或-2或0 提示:由①可知,当$m=5$时,$\frac{x^2-3x+m}{x-1}=x-2+\frac{3}{x-1}$.因为$x$,$\frac{x^2-3x+m}{x-1}$均为整数,所以$\frac{3}{x-1}$为整数.所以x的值为4或2或-2或0