《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册湘教版》

9. 【观察发现】
因为$(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2= (\sqrt{6})^2+(\sqrt{5})^2+2\sqrt{6× 5}= 11+2\sqrt{30}$,
所以$\sqrt{11+2\sqrt{30}}= \sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2}= \sqrt{6}+\sqrt{5}$。
因为$(2+\sqrt{3})^2= 2^2+(\sqrt{3})^2+2× 2×\sqrt{3}= 7+4\sqrt{3}$,
所以$\sqrt{7+4\sqrt{3}}= \sqrt{(2+\sqrt{3})^2}= 2+\sqrt{3}$。
【初步探索】
(1)化简：$\sqrt{9+2\sqrt{14}}= $______。
(2)形如$\sqrt{m - 2\sqrt{n}}的式子可以化简为\sqrt{a}-\sqrt{b}$,即$\sqrt{m - 2\sqrt{n}}= \sqrt{a}-\sqrt{b}$,且$a$,$b$,$m$,$n$均为正整数,用含$a$,$b的式子分别表示m$,$n$,得$m= $______,$n= $______。
(3)若$\sqrt{x + 4\sqrt{5}}= 1 + y\cdot\sqrt{5}$,且$x$,$y$均为正整数,求$x$的值。
【解决问题】
(4)某饰品店要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出。已知甲、乙两个饰品盒都是正方体,底面积分别为$80$cm^2和$(14 + 6\sqrt{5})$cm^2。快递公司现有三种型号的包装纸箱,纸箱内部规格如下表(说明：纸箱厚度和高度不计,参考数据$\sqrt{5}\approx2.236$)。
|型号|长/cm|宽/cm|高/cm|
|A|10|8|12|
|B|12|10|15|
|C|16|10|10|
请你通过计算说明哪种型号的包装纸箱符合条件；从节省空间的角度考虑,应选择哪种型号的纸箱？

答案： 9.解:
(1)$\sqrt{2}+\sqrt{7}$ 提示:因为$(\sqrt{2}+\sqrt{7})^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{7})^2+2\sqrt{2×7}=9+2\sqrt{14}$,所以$\sqrt{9+2\sqrt{14}}=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{7})^2}=\sqrt{2}+\sqrt{7}$.
(2)$a+b$ $ab$ 提示:因为$\sqrt{m-2\sqrt{n}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$,且$a$,$b$,$m$,$n$均为正整数,所以$(\sqrt{m-2\sqrt{n}})^2=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$,即$m-2\sqrt{n}=a+b-2\sqrt{ab}$.所以$m=a+b$,$n=ab$.
(3)因为$\sqrt{x+4\sqrt{5}}=1+y\cdot\sqrt{5}$,且$x$,$y$均为正整数,所以$x+4\sqrt{5}=(1+y\cdot\sqrt{5})^2=1+5y^2+2y\cdot\sqrt{5}$.所以$x=1+5y^2$,$2y=4$.所以$y=2$,$x=21$.
(4)因为$\sqrt{80}=4\sqrt{5}$,$\sqrt{14+6\sqrt{5}}=\sqrt{(3+\sqrt{5})^2}=3+\sqrt{5}$,所以甲饰品盒底面边长为$4\sqrt{5}\ cm$,乙饰品盒底面边长为$(3+\sqrt{5})\ cm$.因为$4\sqrt{5}\approx8.944$,$3+\sqrt{5}\approx5.236$,所以两个正方形的底面边长之和为$4\sqrt{5}+(3+\sqrt{5})\approx8.944+5.236=14.18\ (cm)$.要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中,则该包装纸箱需至少有一条边大于$14.18\ cm$,一条边大于$8.944\ cm$.所以B,C两种型号的包装纸箱符合条件.B型号包装纸箱的体积为$12×10×15=1800\ (cm^3)$,C型号包装纸箱的体积为$16×10×10=1600\ (cm^3)$.因为$1600＜1800$,所以应选择C型号包装纸箱.