《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册湘教版》

13. 将分式$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4}$拆成一个整式与一个分式(分子为正数)的和的形式,结果是______。

答案： $1+\frac{4}{x-2}$ 提示:原式$=\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}=\frac{x+2}{x-2}=\frac{x-2+4}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$.

14. 已知分式$\frac{x + b}{2x + a}$,当$x = 2时分式的值为0$,当$x = -2$时分式的值不存在,则$a^b$的值为______。

答案： $\frac{1}{16}$ 提示:由$x=2$时分式的值为0,得$2+b=0$,解得$b=-2$.由$x=-2$时分式的值不存在,得$2×(-2)+a=0$.解得$a=4$.所以$a^b=4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$.

15. (每小题$7$分,共$14$分)计算：
(1)$\frac{2a}{a^2 - 1}-\frac{1}{a + 1}$；
(2)$(1+\frac{2}{x - 2})÷\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4}$。

答案：
(1)原式$=\frac{2a}{(a+1)(a-1)}-\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}=\frac{2a-(a-1)}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}=\frac{1}{a-1}$；
(2)原式$=\frac{x-2+2}{x-2}\cdot \frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}=\frac{x}{x-2}\cdot \frac{x-2}{x+2}=\frac{x}{x+2}$.

16. (每小题$7$分,共$14$分)
(1)[2024陕西中考]
解方程：$\frac{2}{x^2 - 1}+\frac{x}{x - 1}= 1$。
(2)先化简：$\frac{x}{x + 3}÷\frac{x^2 + x}{x^2 + 6x + 9}+\frac{3x - 3}{x^2 - 1}$,再选取一个你喜欢的数作为$x$的值代入求值。

答案：
(1)方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$,得$2+x(x+1)=(x+1)(x-1)$.解得$x=-3$.检验:当$x=-3$时,最简公分母$(x+1)(x-1)\neq 0$.因此,$x=-3$是原分式方程的解；
(2)原式$=\frac{x}{x+3}\cdot \frac{(x+3)^2}{x(x+1)}+\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+3}{x+1}+\frac{3}{x+1}=\frac{x+6}{x+1}$.由于$x+3\neq0$,$x\neq0$,$x-1\neq0$,$x+1\neq0$,所以$x\neq-3,-1,0,1$.取$x=2$,则原式$=\frac{2+6}{2+1}=\frac{8}{3}$.

17. ($16$分)[2025重庆中考]
列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品。每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多$50$个,$3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100$个。
(1)求该厂每天生产的甲、乙两种文创产品数量分别是多少个。
(2)由于市场需求增加,该厂对生产流程进行了改进。改进后,每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量,且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的$2$倍。若生产甲、乙两种文创产品各$1400$个,乙比甲多用$10$天,求每天生产的乙种文创产品增加的数量。

答案：
(1)设该厂每天生产甲种文创产品的数量是$x$个,则每天生产乙种文创产品的数量是$(x-50)$个.根据题意,得$3x-4(x-50)=100$.解得$x=100$.所以$x-50=100-50=50$(个).答:该厂每天生产甲种文创产品100个,每天生产乙种文创产品50个；
(2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是$y$个,则每天生产的甲种文创产品增加的数量是$2y$个.根据题意,得$\frac{1400}{50+y}-\frac{1400}{100+2y}=10$.解得$y=20$.经检验,$y=20$是原分式方程的解,且符合题意.答:每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个.