《2025年新课程学习指导南方出版社八年级数学上册华师大版》

1. (经典题·定理应用)如图 1,在正方形网格中,四边形 ABCD 的每个顶点都在格点上,已知小正方形的边长为 1,求四边形 ABCD 的周长和面积.

答案：

由勾股定理得：

$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

$BC = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$

$CD = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$

$DA = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

周长：$5 + \sqrt{13} + \sqrt{17} + \sqrt{2}$

面积：$5×4 - \frac{1}{2}×3×4 - \frac{1}{2}×2×3 - \frac{1}{2}×4×1 - \frac{1}{2}×1×1 = 20 - 6 - 3 - 2 - 0.5 = 8.5$

周长为$5 + \sqrt{2} + \sqrt{13} + \sqrt{17}$，面积为$\frac{17}{2}$

2. (经典题·定理应用)如图 2,请在网格中画△ABC,使它的顶点都在格点上,且三边长分别为 $ 2,\sqrt{20},\sqrt{8} $,并求△ABC 的面积.

答案：
解：如图所示

面积为 $ 2 $

3. (综合题·代数与几何)如图 3,在△ABC 中, $ ∠C = 90^{\circ},AB = 13,BC = 12,BD = \frac{1}{2}BC $. 求:
(1)AD 的长;
(2)△ABD 的面积.

答案： 答题
(1) 在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$AB=13$，$BC=12$，
根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，
$CD=BC-BD=12-6=6$，
在$Rt△ACD$中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$。
(2)$△ABD$的面积：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2} × BD × AC=\frac{1}{2} × 6 × 5=15$。

4. (综合题·代数与几何)如图 4,有一条小路穿过长方形的草地 ABCD,若 $ AB = 60m $, $ BC = 84m,AE = 100m $,则这条小路的面积是多少?

答案： 在长方形ABCD中，∠B=90°，AB=60m，BC=84m，AE=100m，E在BC上。
1. 在Rt△ABE中，由勾股定理得：$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{100^2-60^2}=\sqrt{6400}=80(m)$。
2. 因为BC=84m，所以$EC=BC-BE=84-80=4(m)$。
3. 小路为平行四边形AECF（F在AD上），其面积$S=EC× AB=4×60=240(m^2)$。
240m²