《2025年新课程学习指导南方出版社八年级数学上册华师大版》

4. (经典题·数学计算)已知$a,b分别是4+\sqrt{3}$的整数部分和小数部分. 求:
(1)$a,b$的值;
(2)$b^2+2a$的值.

答案：
(1) 因为$1＜\sqrt{3}＜2$，所以$4 + 1＜4+\sqrt{3}＜4 + 2$，即$5＜4+\sqrt{3}＜6$，则$a = 5$，$b=4+\sqrt{3}-5=\sqrt{3}-1$。
(2) $b^2+2a=(\sqrt{3}-1)^2+2×5=3 - 2\sqrt{3}+1 + 10=14 - 2\sqrt{3}$。

5. (经典题·数学计算)已知正数$a的两个不同的平方根分别是2x-2和6-3x,a-4b的算术平方根是4$. 求:
(1)$a,b$的值;
(2)$a-b^2-2$的平方根.

答案：
(1)
因为正数$a$的两个不同的平方根分别是$2x - 2$和$6 - 3x$，
根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$(2x - 2)+(6 - 3x)=0$
$2x - 2 + 6 - 3x = 0$
$-x+4 = 0$
解得$x = 4$。
把$x = 4$代入$2x - 2$得：$2×4 - 2=6$。
所以$a = 6^{2}=36$。
因为$a - 4b$的算术平方根是$4$，则$\sqrt{a - 4b}=4$，即$a - 4b = 16$。
把$a = 36$代入$a - 4b = 16$得：$36 - 4b = 16$，
$-4b = 16 - 36$，
$-4b = -20$，
解得$b = 5$。
(2)
把$a = 36$，$b = 5$代入$a - b^{2}-2$得：
$a - b^{2}-2=36 - 5^{2}-2$
$=36 - 25 - 2$
$=9$
因为$\pm\sqrt{9}=\pm3$，
所以$a - b^{2}-2$的平方根是$\pm3$。
综上，答案为：
(1)$a = 36$，$b = 5$；
(2)$\pm3$。

6. (经典题·数学计算)已知某正数的两个不同的平方根分别是$3a-14和a-2,b-15的立方根为-3$. 求:
(1)$a,b$的值;
(2)$4a+b$的平方根.

答案： 答题卡：
(1)
因为正数的两个不同平方根是$3a - 14$和$a - 2$，根据正数两个平方根互为相反数，可得$(3a - 14)+(a - 2)=0$，
即$3a - 14 + a - 2 = 0$，
$4a-16 = 0$，
$4a=16$，
解得$a = 4$。
因为$b - 15$的立方根为$-3$，所以$b - 15=(-3)^3=-27$，
则$b=-27 + 15=-12$。
(2)
当$a = 4$，$b=-12$时，$4a + b=4×4+( - 12)=16 - 12 = 4$。
因为$\pm\sqrt{4}=\pm2$，所以$4a + b$的平方根是$\pm2$。
综上，答案为：
(1)$a = 4$，$b=-12$；
(2)$\pm2$。

7. (经典题·数学计算)将一个体积为$0.216\mathrm{m}^3的大立方体铝块改铸成8$个一样大的小立方体铝块,求每个小立方体铝块的表面积.

答案： 设每个小立方体铝块的棱长为 $x$ m。
根据题意，8个小立方体的总体积等于大立方体的体积，即：
$8x^{3} = 0.216$，
解这个方程，得到：
$x^{3} = 0.027$，
$x = 0.3 (负值舍去,因为棱长不能为负]$，
每个小立方体的表面积为 $6x^{2}$，将 $x = 0.3$ 代入，得到：
$6 × (0.3)^{2} = 6 × 0.09 = 0.54 m^{2}$。
答：每个小立方体铝块的表面积为 $0.54 m^{2}$。