《2025年新课程学习指导南方出版社八年级数学上册华师大版》

2. 如图 6,在 $\triangle ABC$ 中,已知 $\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 的平分线相交于点 $E$,过点 $E$ 作 $DF// BC$,交 $AB$ 于点 $D$,交 $AC$ 于点 $F$。有下列结论：(1)$\triangle BDE$、$\triangle CEF$ 都是等腰三角形；(2)$DF = BD + CF$；(3)$AD + DF + AF = AB + AC$；(4)$2DF＞BE + EF$。正确的有(D)

A.(3)(4)
B.(1)(2)
C.(1)(2)(3)
D.(1)(2)(3)(4)

答案： D

1. 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形。

答案： 已知：在△ABC中，∠EAC是∠BAC的外角，AD平分∠EAC，且AD//BC。
求证：△ABC是等腰三角形。
证明：
∵AD平分∠EAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AD//BC
∴∠EAD=∠B（两直线平行，同位角相等）
∠CAD=∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠B=∠C
∴AB=AC（等角对等边）
∴△ABC是等腰三角形。

2. 如图 7,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$F$ 是 $AC$ 上任意一点,在 $BA$ 的延长线上取 $AE = AF$。求证：$EF\perp BC$。

答案： 证明：延长EF交BC于点D。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）。设∠B=∠C=β，则∠BAC=180°-2β（三角形内角和定理）。
∵E在BA延长线上，
∴∠EAF=180°-∠BAC=2β（平角定义）。
∵AE=AF，
∴∠E=∠AFE（等腰三角形等边对等角）。设∠E=∠AFE=α，在△AEF中，2α+∠EAF=180°（三角形内角和定理），即2α+2β=180°，
∴α+β=90°。
在△EBD中，∠EDB=180°-∠E-∠B=180°-α-β=90°（三角形内角和定理）。
∴EF⊥BC。

3. 如图 8,在五边形 $ABCDE$ 中,$\angle B= \angle E = 90^{\circ}$,$BC = ED$,$\angle ACD= \angle ADC$。求证：$AB = AE$。

答案： 证明：
∵∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD（等角对等边）。
∵∠B=∠E=90°，
∴△ABC和△AED均为直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AD,\\ BC=ED,\end{array}\right.$
∴Rt△ABC≌Rt△AED（HL）。
∴AB=AE（全等三角形对应边相等）。

4. 如图 9,$E$、$D$ 是 $\triangle ABC$ 中 $BC$ 边上的两点,$AD = AE$,$AB = AC$。
(1)说出图中共有几对全等三角形,分别把它们找出来,并说明用哪种方法判定(用字母表示判定方法)；
(2)选择其中一对加以证明。

答案：
(1) 图中共有3对全等三角形：
$\triangle ABD \cong \triangle ACE$（$SAS$）；
$\triangle ABE \cong \triangle ACD$（$SAS$）；
$\triangle BED \cong \triangle CDE$（$SSS$或$SAS$，由于$AD = AE$，$AB = AC$，且$BE=BC-EC$，$CD=BC-BD$，结合前面的全等关系可得$BD = CE$，再加上$DE$为公共边或$AD = AE$可判定）。
(2) 证明$\triangle ABD \cong \triangle ACE$：
因为$AB = AC$，$AD = AE$，$\angle B = \angle C$（等边对等角，由$AB = AC$得出），
又因为$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAE$，$\angle CAE = \angle BAC - \angle DAE$，所以$\angle BAD = \angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，
$\begin{cases}AB = AC \\ \angle BAD = \angle CAE \\AD = AE\end{cases}$
所以$\triangle ABD \cong \triangle ACE(SAS)$。