《2025年新课程学习指导南方出版社八年级数学上册华师大版》

1. 若一个三角形的三边满足$c^{2}-a^{2}= b^{2}$,则这个三角形是直角三角形.

答案： 直角三角形

2. 在$\triangle ABC$中,若$AB = 10$,$AC = 8$,$BC = 6$,则$\triangle ABC$是直角三角形.

答案： 直角

3. 在$\triangle ABC$中,若$AB = 5$,$BC = 12$,$AC = 13$,则$\triangle ABC$的面积为30.

答案： 30

1. 以下列各组数据为三边不能组成直角三角形的是(C)
A.$1.5$,$2$,$2.5$
B.$1$,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$
C.$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,$2$,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

答案： C

2. 若一个三角形的三边比为$1:2:\sqrt{3}$,则这个三角形是(C)
A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形

答案： C

3. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)$9$,$12$,$15$；(2)$1$,$1$,$\sqrt{2}$；(3)$8$,$5$,$17$；(4)$4$,$5$,$6$. 其中能构成直角三角形的有(C)
A.$4$组
B.$3$组
C.$2$组
D.$1$组

答案： C

1. 一个零件的形状如图 9 所示,按规定这个零件中$\angle B和\angle ACD$都应为直角,工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示,这个零件符合要求吗？

答案： 答题卡：
根据题意，需验证$\angle B$和$\angle ACD$是否为直角。
首先验证$\angle B$是否为直角：
已知$AB = 3$，$BC = 4$，$AC = 5$。
根据勾股定理的逆定理，若$AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$，则$\angle B$为直角。
计算：
$3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$，
$AC^{2} = 5^{2} = 25$。
因为$9 + 16 = 25$，所以$\angle B$是直角。
接着验证$\angle ACD$是否为直角：
已知$AC = 5$，$CD = 12$，$AD = 13$。
根据勾股定理的逆定理，若$AC^{2} + CD^{2} = AD^{2}$，则$\angle ACD$为直角。
计算：
$5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$，
$AD^{2} = 13^{2} = 169$。
因为$25 + 144 = 169$，所以$\angle ACD$是直角。
综上，这个零件符合要求。

2. 如图 10 所示的一块土地,经测量可知$AD = 12m$,$CD = 9m$,$\angle ADC = 90^{\circ}$,$AB = 39m$,$BC = 36m$. 根据测量得出的数据,求出这块土地的面积.

答案： 连结 $AC$。
在 $Rt \bigtriangleup ADC$ 中，
$\because AD = 12m$，$CD = 9m$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$由 勾 股 定 理 可 得$：
$AC = \sqrt{AD^{2} + CD^{2}} = \sqrt{12^{2} + 9^{2}} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15（m）$。
在 $\bigtriangleup ABC$ 中，
$\because AC = 15m$，$BC = 36m$，$AB = 39m$，
$\because 15^{2} + 36^{2} = 225 + 1296 = 1521 = 39^{2}$，
$\therefore \bigtriangleup ABC$ 是直角三角形，且$\angle ACB = 90^{\circ}$。
$S_{四边形ABCD} = S_{\bigtriangleup ABC} - S_{\bigtriangleup ADC}$
$ = \frac{1}{2} × 15 × 36 - \frac{1}{2} × 9 × 12 $
$= 270 - 54$
$ = 216（m^{2}）$
答：这块土地的面积为 $216m^{2}$。

3. 如图 11,在边长为$4的正方形ABCD$中,$E是边BC$的中点,点$F在CD$上,且$DF = 3CF$,试判断$\triangle AEF$的形状,并说明理由.

答案： 在正方形 $ABCD$ 中，$AB = BC = CD = DA = 4$。
由于 $E$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BE = EC = 2$。
根据 $DF = 3CF$，且$DF+CF=CD=4$，得 $CF = 1$，$DF = 3$。
利用勾股定理计算三角形 $AEF$ 的各边：
$AE = \sqrt{AB^{2} + BE^{2}} = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，
$EF = \sqrt{EC^{2} + CF^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$，
$AF = \sqrt{AD^{2} + DF^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5$。
验证是否满足勾股定理：
$AE^{2} + EF^{2} = (2\sqrt{5})^{2} + \sqrt{5}^{2} = 20 + 5 = 25 = AF^{2}$，
由于 $AE^{2} + EF^{2} = AF^{2}$，根据勾股定理的逆定理，$\triangle AEF$ 是直角三角形。
综上，$\triangle AEF$ 是直角三角形。