《2025年新课程学习指导南方出版社八年级数学上册华师大版》

2. 在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = BC$,$AD是\angle BAC$的平分线,$DE \perp AB$,垂足为$E$,如果$AB = 10$,那么$\triangle DBE$的周长是(A)
A.10
B.8
C.12
D.9

答案： A

1. 用三角板可按下面方法画角平分线：在已知$\angle AOB$的两边上,分别取$OM = ON$(如图12),再分别过点$M$、$N作OA$、$OB$的垂线,交点为$P$,画射线$OP$. 证明：$OP平分\angle AOB$.

答案： 答题
证明：
在 $ \triangle OMP $ 和 $ \triangle ONP $ 中，
$ OM = ON $，
$ OP = OP $（公共边），
$ \angle OMP = \angle ONP = 90° $。
由直角三角形全等定理（HL），
$ \triangle OMP \cong \triangle ONP $。
因此，$ \angle MOP = \angle NOP $。
所以，$ OP $ 平分 $ \angle AOB $。

2. 如图13,$AD是\angle BAC$的平分线,$DE \perp AB的延长线于E$,$DF \perp AC于F$,且$BD = CD$. 求证：$BE = CF$.

答案： 证明：
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∵BD=CD，DE=DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。
∴BE=CF。

3. 如图14,$CD \perp AB$,$BE \perp AC$,垂足分别为$D$、$E$,$BE$、$CD相交于点O$. 求证：
(1)当$\angle 1 = \angle 2$时,$OB = OC$；
(2)当$OB = OC$时,$\angle 1 = \angle 2$.

答案：
(1)证明：
∵∠1=∠2，
∴AO平分∠BAC．
∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足为D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC（垂直定义）．
∴OD=OE（角平分线上的点到角两边距离相等）．
在△ODB和△OCE中，
∠ODB=∠OEC=90°（垂直定义），
OD=OE，
∠BOD=∠COE（对顶角相等），
∴△ODB≌△OCE（ASA）．
∴OB=OC（全等三角形对应边相等）．
(2)证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足为D、E，
∴∠ODB=∠OEC=90°（垂直定义）．
在△ODB和△OCE中，
∠ODB=∠OEC，
∠BOD=∠COE（对顶角相等），
OB=OC，
∴△ODB≌△OCE（AAS）．
∴OD=OE（全等三角形对应边相等）．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴点O在∠BAC的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
∴AO平分∠BAC，即∠1=∠2．

4. 如图15,$AD是\triangle ABC$的角平分线,$DE \perp AB$,$DF \perp AC$,垂足分别是$E$、$F$,$BD = CD$. 求证：$AB = AC$.

答案： 证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BD=CD \\ DE=DF \end{cases}$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。
∴AB=AC（等角对等边）。