《2025年新课程学习指导南方出版社八年级数学上册华师大版》

四、先化简,再求值：$(2x - y)(y + 2x) - (2y + x)(2y - x)$,其中$x = 1$,$y = 2$.

答案： -15

五、两个连续正整数的平方差是$9$,求这两个数.

答案： 设较小的正整数为$x$，则另一个正整数为$x + 1$。
根据题意，有：
$(x + 1)^{2} - x^{2} = 9$
展开得：
$x^{2} + 2x + 1 - x^{2} = 9$
化简得：
$2x + 1 = 9$
进一步解得：
$2x = 8$
$x = 4$
因此，另一个正整数为$x + 1 = 5$。
答：这两个数是$4$和$5$。

六、已知$(x + y)^{2} = 16$,$(x - y)^{2} = 4$,求$xy$的值.

答案： 解：因为$(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} = 16$，$(x - y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2} = 4$，
所以用第一个式子减去第二个式子可得：
$(x^{2} + 2xy + y^{2}) - (x^{2} - 2xy + y^{2}) = 16 - 4$
$x^{2} + 2xy + y^{2} - x^{2} + 2xy - y^{2} = 12$
$4xy = 12$
则$xy = 3$
结论：$xy = 3$

1. 已知多项式$M = x^{2} + 5x - a$,$N = - x + 2$,$P = x^{3} + 3x^{2} + 5$,且$M\cdot N + P的值与x$的取值无关,求字母$a$的值.

答案： $a = -10$

2. 聪聪是一个非常爱动脑筋的同学,学习了乘法公式后,老师出了一道这样的计算题：$4×(5 + 1)×(5^{2} + 1)$,聪聪很快就计算出来了,他把$4看成(5 - 1)$后,得原式$=(5 - 1)×(5 + 1)×(5^{2} + 1) = (5^{2} - 1)×(5^{2} + 1) = 5^{4} - 1 = 625 - 1 = 624$.老师表扬了他,接着又出了一道题：$(2 + 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)×…×(2^{2048} + 1)$,聪聪还是很快做出来了,你知道他是怎样做的吗？试试看,你一定能行.

答案： $(2 + 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)×…×(2^{2048} + 1)$
$=(2 - 1)×(2 + 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)×…×(2^{2048} + 1)$
$=(2^{2} - 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)×…×(2^{2048} + 1)$
$=(2^{4} - 1)×(2^{4} + 1)×…×(2^{2048} + 1)$
$=...$
$=(2^{2048})^{2} - 1$
$=2^{4096} - 1$