《2025年新课程学习指导南方出版社八年级数学上册华师大版》

5. 已知$\triangle ABC的三边长分别为a$,$b$,$c$,且$a + 2ab = c + 2bc$,则$\triangle ABC$是(B)
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形

答案： B

三、把下列各式分解因式
1. $(x - 3)y+(x - 3)z$
2. $-4a^{2}+12ab - 9b^{2}$
3. $a^{4}x^{2}+4a^{2}x^{2}y + 4x^{2}y^{2}$
4. $(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}$

答案： 1.
$(x - 3)y + (x - 3)z$
$= (x - 3)(y + z)$
2.
$-4a^{2} + 12ab - 9b^{2}$
$= -(4a^{2} - 12ab + 9b^{2})$
$= -(2a - 3b)^{2}$
3.
$a^{4}x^{2} + 4a^{2}x^{2}y + 4x^{2}y^{2}$
$= x^{2}(a^{4} + 4a^{2}y + 4y^{2})$
$= x^{2}(a^{2} + 2y)^{2}$
4.
$(a^{2} + b^{2})^{2} - 4a^{2}b^{2}$
$= (a^{2} + b^{2} + 2ab)(a^{2} + b^{2} - 2ab)$
$= (a + b)^{2}(a - b)^{2}$

四、化简：$(-4a^{3}+12a^{2}b - 7a^{3}b^{2})÷(-4a^{2})$

答案： $(-4a^{3} + 12a^{2}b - 7a^{3}b^{2}) ÷ (-4a^{2})$
$=\frac{-4a^{3}}{-4a^{2}} + \frac{12a^{2}b}{-4a^{2}} - \frac{7a^{3}b^{2}}{-4a^{2}}$
$= a - 3b + \frac{7}{4}ab^{2}$

五、一个长方形的面积是$3(x^{2}-y^{2})$,如果它的一边长为$(x + y)$,求这个长方形的周长.

答案： 答题空：
已知长方形的面积为 $3(x^{2} - y^{2})$，一边长为 $x + y$。
根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，所以另一边长为：
$\frac{3(x^{2} - y^{2})}{x + y}$
根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+ b)(a- b)$，将 $x^{2} - y^{2}$ 分解为 $(x + y)(x - y)$，代入上式得：
$\frac{3(x + y)(x - y)}{x + y} = 3(x - y)$
长方形的周长为两倍的长加两倍的宽，即：
$2(x + y) + 2 × 3(x - y) = 2x + 2y + 6x - 6y = 8x - 4y$
故这个长方形的周长为 $8x - 4y$。

六、对于任意整数$n$,多项式$(n + 11)^{2}-n^{2}都能被11$整除吗？为什么？

答案： 答题（卡）如下：
首先，对多项式$(n + 11)^{2} - n^{2}$进行因式分解。
$(n + 11)^{2} - n^{2} = (n + 11 + n)(n + 11 - n) = (2n + 11) × 11= 11(2n + 11)$
由于$n$是整数，所以$2n + 11$也是整数。
因此，多项式$(n + 11)^{2} - n^{2}$是11的倍数，即它能被11整除。
结论：对于任意整数$n$，多项式$(n + 11)^{2} - n^{2}$都能被11整除。

七、若一个三角形的三边$a$、$b$、$c满足a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2ab - 2bc = 0$,试说明该三角形是等边三角形.

答案： 由题意，有$a^{2} + 2b^{2} + c^{2} - 2ab - 2bc = 0$。
将原式进行分组和调整，得到：
$a^{2} - 2ab + b^{2} + b^{2} - 2bc + c^{2} = 0$。
这可以进一步写为：
$(a - b)^{2} + (b - c)^{2} = 0$。
由于平方项总是非负的，即：
$(a - b)^{2} \geq 0$，
$(b - c)^{2} \geq 0$。
唯一使两者之和为0的方法是两者都等于0，即：
$a - b = 0$，
$b - c = 0$。
由上述两式可得：
$a = b$，
$b = c$。
进一步得到：
$a = b = c$。
因此，该三角形是等边三角形。