《2025年新课程学习指导南方出版社八年级数学上册华师大版》

3. 下列各式中,不能用同底数幂的乘法法则化简的是(C)
A.$81× 3^{5}$
B.$(a + b)(b + a)^{2}$
C.$(m - n)(m + n)^{2}$
D.$(x - y)(y - x)^{2}$

答案： C

4. 若$x^{m}= (-x)^{m}(m\neq 0)$,则$m$是(B)
A.奇数
B.偶数
C.整数
D.自然数

答案： B

5. 下列计算结果为$a^{2}+5a - 6$的是(D)
A.$(a - 2)(a + 3)$
B.$(a + 2)(a - 3)$
C.$(a + 1)(a - 6)$
D.$(a - 1)(a + 6)$

答案： D

6. 计算$(-2)^{2025}+(-2)^{2026}$,结果等于(C)
A.$-1$
B.$-2$
C.$2^{2025}$
D.$-2^{2025}$

答案： C

7. 若$(mx^{4})· (3x^{k})= 18x^{12}$,则$m$,$k$的值是(D)

A.$m = 15$,$k = 3$
B.$m = 15$,$k = 8$
C.$m = 6$,$k = 3$
D.$m = 6$,$k = 8$

答案： D

8. 若$(x + 2)(x + a)= x^{2}-3x + b$,则$a$,$b$的值是(C)
A.$a = 1$,$b = 2$
B.$a = 1$,$b = -2$
C.$a = -5$,$b = -10$
D.$a = -5$,$b = 10$

答案： C

9. 下列计算正确的是(C)

A.$x^{2}\cdot x^{3}= x^{6}$
B.$(-x^{2})^{3}= x^{6}$
C.$(-x^{3})^{2}= x^{6}$
D.$(3x^{3})^{2}= 6x^{6}$

答案： C

10. 若$x$、$y$是正整数,且$2^{x}· 2^{y}= 2^{5}$,则符合要求的$x$、$y$的值共有(A)
A.$4$对
B.$3$对
C.$2$对
D.$1$对

答案： A

三、计算
1. $-x· (-x)^{3}· (-x)^{4}$
2. $3ab(b - a)-a(b^{2}-ab)$
3. $(-a)^{5}· a^{3}÷ a^{2}$

答案： 1.
解：
$\begin{aligned}&-x· (-x)^{3}· (-x)^{4}\\=&-x· (-x^{3})· x^{4}\\=&x^{1 + 3+4}\\=&x^{8}\end{aligned}$
2.
解：
$\begin{aligned}&3ab(b - a)-a(b^{2}-ab)\\=&3ab^{2}-3a^{2}b - ab^{2}+a^{2}b\\=&(3ab^{2}-ab^{2})+(-3a^{2}b + a^{2}b)\\=&2ab^{2}-2a^{2}b\end{aligned}$
3.
解：
$\begin{aligned}&(-a)^{5}· a^{3}÷ a^{2}\\=&-a^{5}· a^{3}÷ a^{2}\\=&-a^{5 + 3-2}\\=&-a^{6}\end{aligned}$

四、已知$x^{n}= 3$($n$为正整数),求$(x^{3n})^{2}-4(x^{2})^{2n}$的值.

答案： 首先，根据幂的乘方运算法则，我们有：
$(x^{3n})^{2} = x^{6n}$
$(x^{2})^{2n} = x^{4n}$
代入原式，我们得到：
$(x^{3n})^{2} - 4(x^{2})^{2n} = x^{6n} - 4x^{4n}$
再次应用幂的乘方运算法则，将$x^{6n}$和$x^{4n}$分别表示为$(x^{n})^{6}$和$(x^{n})^{4}$：
$x^{6n} - 4x^{4n} = (x^{n})^{6} - 4(x^{n})^{4}$
根据题目条件，$x^{n} = 3$，代入上式得：
$(x^{n})^{6} - 4(x^{n})^{4} = 3^{6} - 4 × 3^{4} = 729 - 324 = 405$
故原式的值为405。

五、在一块长为$30$米,宽为$20$米的长方形场地上建造一个游泳池,使四周人行道的宽都是$x$米,请用含$x的代数式表示游泳池的面积y$.

答案： 游泳池的长为$(30 - 2x)$米，宽为$(20 - 2x)$米。
面积$y=(30 - 2x)(20 - 2x)$
$=30×20 - 30×2x - 2x×20 + (2x)^2$
$=600 - 60x - 40x + 4x^2$
$=4x^2 - 100x + 600$。
结论：$y=4x^2 - 100x + 600$。

1. 请说一说$a^{2}和a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}$的几何意义.

答案： $a^{2}$的几何意义：
边长为$a$的正方形的面积为$a × a = a^{2}$。
$a^{2} - \frac{1}{4}b^{2}$的几何意义：
边长为$a$的大正方形，其面积为$a^{2}$；
在一个角上挖去一个边长为$\frac{1}{2}b$的小正方形，其面积为$\frac{1}{2}b × \frac{1}{2}b = \frac{1}{4}b^{2}$；
剩余部分的面积即为$a^{2} - \frac{1}{4}b^{2}$。