《2025年新课程学习指导南方出版社八年级数学上册华师大版》

9. (综合题·几何证明)如图 9,在△ABC 中,AB= BC,∠ABC= 90°,F 为 AB 延长线上一点,点 E 在 BC 上,且 AE= CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE= 30°,求∠ACF 的度数.

答案：
(1)证明：
∵AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=CF\\ AB=CB\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
(2)
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=∠BAC - ∠CAE=45° - 30°=15°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCA + ∠BCF=45° + 15°=60°．

10. (探究题·说理验证)如图 10,在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,AC= 2AB,D 是 AC 的中点,将一块锐角为 45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与 A、D 重合,连接 BE、EC. 试猜想线段 BE 和 EC 的数量关系及位置关系,并证明你的猜想.

答案： BE=EC且BE⊥EC。
证明：
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，D是AC中点，
∴AD=DC=AB。
∵三角板为锐角45°的直角三角板，斜边端点为A、D，
∴△EAD是等腰直角三角形，
∴EA=ED，∠AED=90°，∠EAD=∠EDA=45°。
∵∠BAC=90°，∠EAD=45°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE=90°+45°=135°（E在AD下方时）。
∵∠EDA=45°，
∴∠CDE=180°-∠EDA=135°，
∴∠BAE=∠CDE。
在△ABE和△DCE中，
AB=DC，
∠BAE=∠CDE，
EA=ED，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=EC，∠AEB=∠DEC。
∵∠AED=90°，即∠AEB+∠BED=90°，
∴∠DEC+∠BED=90°，即∠BEC=90°，
∴BE⊥EC。
综上，BE=EC且BE⊥EC。