《2025年新课程学习指导南方出版社八年级数学上册华师大版》

五、用长为$50\mathrm{cm}$,宽为$45\mathrm{cm}$,高为$12\mathrm{cm}$的长方体实心铁块,能铸造出一个棱长为多少厘米的正方体实心铁块？

答案： 30

用计算器计算,并以$2$为底数的幂的形式表示结果：
1. $\sqrt{2^2} = $$2^1$；$\sqrt{2^4} = $$2^2$；$\sqrt{2^6} = $$2^3$；$\sqrt{2^8} = $$2^4$；$\sqrt{2^{10}} = $$2^5$.
2. $\sqrt[3]{2^3} = $$2^1$；$\sqrt[3]{2^6} = $$2^2$；$\sqrt[3]{2^9} = $$2^3$；$\sqrt[3]{2^{12}} = $$2^4$；$\sqrt[3]{2^{15}} = $$2^5$.
3. 你从中能发现什么规律？请用含有字母的式子表示出来.
$\sqrt{2^{2n}}=2^n$，$\sqrt[3]{2^{3n}}=2^n$（$n$为正整数）
4. 请按规律计算$\sqrt{16^3}$,并以$2$为底数的幂的形式表示结果.
$2^6$

答案： 1.
$\sqrt{2^2}=\sqrt{4} = 2=2^1$；
$\sqrt{2^4}=\sqrt{16}=4 = 2^2$；
$\sqrt{2^6}=\sqrt{64}=8 = 2^3$；
$\sqrt{2^8}=\sqrt{256}=16 = 2^4$；
$\sqrt{2^{10}}=\sqrt{1024}=32 = 2^5$。
2.
$\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2 = 2^1$；
$\sqrt[3]{2^6}=\sqrt[3]{64}=4 = 2^2$；
$\sqrt[3]{2^9}=\sqrt[3]{512}=8 = 2^3$；
$\sqrt[3]{2^{12}}=\sqrt[3]{4096}=16 = 2^4$；
$\sqrt[3]{2^{15}}=\sqrt[3]{32768}=32 = 2^5$。
3.
对于$\sqrt{2^{2n}}=2^n$（$n$为正整数）；
对于$\sqrt[3]{2^{3n}}=2^n$（$n$为正整数）。
4.
因为$16 = 2^4$，所以$\sqrt{16^3}=\sqrt{(2^4)^3}=\sqrt{2^{12}}$。
根据$\sqrt{2^{2n}} = 2^n$，这里$n = 6$，则$\sqrt{2^{12}}=2^6$。
综上，答案依次为：
1. $2^1$；$2^2$；$2^3$；$2^4$；$2^5$。
2. $2^1$；$2^2$；$2^3$；$2^4$；$2^5$。
3. $\sqrt{2^{2n}}=2^n$，$\sqrt[3]{2^{3n}}=2^n$（$n$为正整数）。
4. $2^6$。