《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

1.一根排水管的横截面如图所示. 已知排水管的横截面圆的半径0B= 5,圆心0到水面的距离OC是3,则水面的宽AB 是(A).
A.8
B.5
C.4
D.3

答案： 【解析】：本题可根据垂径定理以及勾股定理来求解水面的宽$AB$。
已知圆心$O$到水面的距离$OC = 3$，排水管的横截面圆的半径$OB = 5$。
因为$OC\perp AB$（已知条件隐含），根据垂径定理可知，垂直于弦的直径平分弦，所以$AB = 2BC$。
在$Rt\triangle OBC$中，$OB$为斜边，$OC$为一条直角边，$BC$为另一条直角边，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得$BC=\sqrt{OB^{2}-OC^{2}}$。
将$OB = 5$，$OC = 3$代入上式，可得$BC=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}= 4$。
因为$AB = 2BC$，所以$AB = 2×4 = 8$。
【答案】：A

2.如图,在⊙O中,弦AB,AC互相垂直,
D,E分别为AB,AC的中点,则四边形
OEAD是(B).

A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形

答案： 解：
∵D，E分别为AB，AC的中点，O为圆心，
∴OE⊥AC，OD⊥AB（垂径定理）。
∵AB⊥AC，
∴∠EAD=90°，∠OEA=∠ODA=90°，
∴四边形OEAD为矩形。
答案：B

3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,BE= 1,AE= 5,∠AEC= 30°,则CD的长为$4\sqrt{2}$.

答案： 【解析】：本题主要考查了垂径定理和三角函数的应用。
首先，连接$OC$，由于$AB$是⊙$O$的直径，且$AE = 5$，$BE = 1$，可以得出⊙$O$的半径$OC = OB=\frac{AB}{2} =\frac{EA+BE}{2}= 3$。
然后，过点$O$作$OF\bot CD$于点$F$，则根据垂径定理，$CF = DF=\frac{1}{2}CD$，且$\angle OFE = 90^\circ$。
由于$\angle AEC = 30^\circ$，可以利用三角函数求得$OF$的长度。
在$Rt \bigtriangleup OEF$中，$OE=OB-BE=3-1=2$，
$\therefore OF = OE× \sin\angle AEC= 2 × \frac{1}{2} = 1$。
接着，在$Rt \bigtriangleup OCF$中，利用勾股定理求得$CF$的长度。
由勾股定理，$CF = \sqrt{OC^2 - OF^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$。
最后，由于$CD = 2CF$，可以得出$CD = 4\sqrt{2}$。
【答案】：$4\sqrt{2}$。

4.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E;若∠A= 30°,AC= 2,则CD的长为2.

答案： 解：连接OC。
∵AB是⊙O的直径，∠A=30°，AC=2，
∴在Rt△ABC中，∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
BC=AC·tan30°=2×(√3/3)=2√3/3，
AB=AC/cos30°=2/(√3/2)=4√3/3，
∴OA=OC=AB/2=2√3/3。
∵AB⊥CD，
∴CE=DE（垂直于弦的直径平分弦），∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，AE=AC·cos30°=2×(√3/2)=√3，
OE=AE-OA=√3 - 2√3/3=√3/3。
在Rt△OEC中，CE=√(OC²-OE²)=√[(2√3/3)²-(√3/3)²]=√(4/3 - 1/3)=√1=1，
∴CD=2CE=2×1=2。
2

5.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H.若AB= 10,CD= 8,则图中阴影部分的面积为______20.

答案： 20

6.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂
足为E,连接AD.若AB= 10,CD= 6,求弦AD的长.

答案： 解：连接OD。
∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴OA=OD=5。
∵CD⊥AB，CD=6，
∴CE=DE=3。
设OE=x，则AE=OA+OE=5+x（或AE=OA-OE=5-x，此处根据图形E在OB上，应为AE=OA+OE=5+x不成立，正确应为AE=OA - OE=5 - x，假设E在OA下方靠近B处，AE=OA + OE=5 + x也不对，正确位置应在AB上，CD⊥AB，垂足E，设OE=x，则AE=5 - x（当E在OA之间）或AE=5 + x（E在OB之间），但根据图形，AD连接，E更可能在OA下方，即E在OB上，此时AE=OA + OE=5 + x，但在Rt△ODE中，OD=5，DE=3，OE² + DE²=OD²，即x² + 3²=5²，x²=16，x=4（x=-4舍去）。
若E在OB上，OE=4，则AE=OA + OE=5 + 4=9。
在Rt△ADE中，AE=9，DE=3，
AD=√(AE² + DE²)=√(9² + 3²)=√(81 + 9)=√90=3√10。
答：弦AD的长为3√10。

7.如图,CED是⊙O的一段优弧,EM经过点
O,且EM⊥CD于点M.若CD= 4,EM= 93 6,求⊙0的半径.

答案： 解：设⊙O的半径为r。
∵EM经过圆心O，EM⊥CD，CD=4，
∴CM=MD=2（垂径定理）。
∵EM=6，OM=EM-OE=6-r（OE为半径，OE=r）。
在Rt△OMC中，OC²=OM²+CM²，
即r²=(6-r)²+2²。
解得r=10/3。
答：⊙O的半径为10/3。