《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

1. 已知$\odot O的直径为10 cm$,若圆心$O到直线l的距离为5 cm$,则直线$l与\odot O$的位置关系是(B).
A.相离
B.相切
C.相交
D.相交或相切

答案： 【解析】：
本题考查直线与圆的位置关系。直线与圆的位置关系可以通过比较圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$来判断。
已知圆$\odot O$的直径为$10cm$，则半径$r = \frac{10}{2} = 5cm$。
又已知圆心$O$到直线$l$的距离为$5cm$，即$d = 5cm$。
比较$d$与$r$，有$d = r = 5cm$。
根据直线与圆的位置关系，当$d = r$时，直线与圆相切。
【答案】：
B.相切。

2. 如图,以点$P$为圆心作圆,所得的圆与直线$l$相切的是(C).

A.以$PA$为半径的圆
B.以$PB$为半径的圆
C.以$PC$为半径的圆
D.以$PD$为半径的圆

答案： 【解析】：
本题考查直线和圆的位置关系，具体是相切的情况，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，需要判断以点$P$为圆心，各选项中的线段为半径所作的圆与直线$l$的位置关系。
从图中可以看出，点$P$到直线$l$的垂线段为$PC$，根据直线与圆相切的性质，圆心到直线的距离（即垂线段的长度）等于圆的半径时，直线与圆相切，所以以$PC$为半径的圆与直线$l$相切。
而$PA$、$PB$、$PD$的长度都大于点$P$到直线$l$的距离，以它们为半径作圆时，圆与直线$l$相交。
【答案】：C。

3. 已知$\odot O的半径为3 cm$,圆心$O到直线l的距离为d$. 若直线$l与\odot O$相离,则$d$的取值范围为$d ＞ 3\space cm$；若直线$l与\odot O$相切,则$d$的取值范围为$d = 3\space cm$；若直线$l与\odot O$相交,则$d$的取值范围为$0\leqslant d ＜ 3\space cm$.

答案： 解：直线$l$与$\odot O$相离时，$d ＞ 3\space cm$；
直线$l$与$\odot O$相切时，$d = 3\space cm$；
直线$l$与$\odot O$相交时，$0\leqslant d ＜ 3\space cm$。

4. 在$Rt \triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 5 cm$,$AC = 12 cm$,以点$C$为圆心,作半径为$R$的圆.
(1)当$R$为何值时,$\odot C和直线AB$相离？
(2)当$R$为何值时,$\odot C和直线AB$相切？
(3)当$R$为何值时,$\odot C和直线AB$相交？

答案： 解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$BC=5\ cm$，$AC=12\ cm$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13\ cm$.
设点$C$到直线$AB$的距离为$d$，
$\because S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot BC=\dfrac{1}{2}AB\cdot d$，
$\therefore d=\dfrac{AC\cdot BC}{AB}=\dfrac{12×5}{13}=\dfrac{60}{13}\ cm$.
(1)当$\odot C$和直线$AB$相离时，$R\lt d$，即$R\lt\dfrac{60}{13}\ cm$.
(2)当$\odot C$和直线$AB$相切时，$R=d$，即$R=\dfrac{60}{13}\ cm$.
(3)当$\odot C$和直线$AB$相交时，$R\gt d$，即$R\gt\dfrac{60}{13}\ cm$.

1. 已知$\odot O的半径为3$,$M为直线AB$上一点. 若$MO = 3$,则直线$AB与\odot O$的位置关系为(D).
A.相切
B.相交
C.相切或相离
D.相切或相交

答案： 解：直线和圆的位置关系由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系决定：
当d ＜ r时，直线与圆相交；
当d = r时，直线与圆相切；
当d ＞ r时，直线与圆相离。
已知⊙O的半径r = 3，M为直线AB上一点，MO = 3。
圆心O到直线AB的距离d是点O到直线AB的垂线段长度，根据垂线段最短性质，d ≤ MO = 3。
分两种情况：
1. 若OM⊥AB，则d = MO = 3 = r，直线AB与⊙O相切；
2. 若OM不垂直于AB，则d ＜ MO = 3 = r，直线AB与⊙O相交。
综上，直线AB与⊙O的位置关系为相切或相交。
答案：D

2. 在平面直角坐标系中,$\odot O$是以原点为圆心,以$3$个单位长度为半径的圆,直线$l的解析式为y = kx + 2(k \neq 0$,且$k$为常数),则直线$l与\odot O$的位置关系是(C).
A.相离
B.相切
C.相交
D.不能确定

答案： 解：圆心O(0,0)，半径r=3。
直线l：kx - y + 2 = 0。
圆心O到直线l的距离d = |0 - 0 + 2| / √(k² + 1) = 2 / √(k² + 1)。
∵k² ≥ 0，
∴k² + 1 ≥ 1，√(k² + 1) ≥ 1，
∴d = 2 / √(k² + 1) ≤ 2。
∵d ≤ 2 ＜ 3 = r，
∴直线l与⊙O相交。
答案：C

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle B = 30^{\circ}$,以点$A$为圆心,$3 cm为半径作\odot A$,当$AB = $6$cm$时,$BC与\odot A$相切.

答案： 解：过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$。
因为$AB = AC$，$\angle B = 30^{\circ}$，所以$AD = AB \cdot \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}AB$。
因为$BC$与$\odot A$相切，所以$AD$为$\odot A$的半径，即$AD = 3\space cm$。
所以$\frac{1}{2}AB = 3$，解得$AB = 6\space cm$。
答案：$6$

4. 已知$\odot O的半径为\sqrt{2} cm$,圆心$O到直线l的距离为1.4 cm$,则直线$l与\odot O$的公共点有2个.

答案： 解：已知$\odot O$的半径$r = \sqrt{2}\ cm \approx 1.414\ cm$，圆心$O$到直线$l$的距离$d = 1.4\ cm$。
因为$d = 1.4\ cm ＜ r \approx 1.414\ cm$，所以直线$l$与$\odot O$相交。
故直线$l$与$\odot O$的公共点有$2$个。
答案：$2$个

5. 已知$\odot O的半径是一元二次方程x^{2} - 6x + 9 = 0$的解,且点$O到直线AB的距离为2$,则$\odot O与直线AB$的位置关系是______相交.

答案： 解：解方程$x^{2}-6x + 9=0$，得$(x - 3)^{2}=0$，$x_{1}=x_{2}=3$，即$\odot O$的半径$r = 3$。
因为点$O$到直线$AB$的距离$d = 2$，且$d=2\lt r=3$，所以$\odot O$与直线$AB$的位置关系是相交。
相交

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$.
(1)作$\angle ACB的平分线交AB边于点O$,再以点$O$为圆心,$OB的长为半径作\odot O$.
(要求：不写作法,保留作图痕迹)
(2)判断(1)中$AC与\odot O$的位置关系,直接写出结果.

答案：

解：
(1)如图所示

(2)AC与⊙O相切