《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

8. 如图，抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2} + mx + n$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，抛物线的对称轴交$x$轴于点$D$，已知$A(-1,0)$，$C(0,2)$.

(1)求此抛物线对应的函数解析式.
(2)求$\triangle BDC$的面积.
(3)线段$BC$上有一动点$P$，过点$P$作$y$轴的平行线，交抛物线于点$Q$，求线段$PQ$的最大值.

答案： 1. 求抛物线对应的函数解析式：
已知抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+mx + n$过$A(-1,0)$，$C(0,2)$。
把$A(-1,0)$，$C(0,2)$代入$y = -\frac{1}{2}x^{2}+mx + n$得：
$\begin{cases}-\frac{1}{2}×(-1)^{2}+m×(-1)+n = 0\\n = 2\end{cases}$
把$n = 2$代入$-\frac{1}{2}×(-1)^{2}+m×(-1)+n = 0$得：
$-\frac{1}{2}-m + 2 = 0$
$m=\frac{3}{2}$
所以抛物线解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$。
2. 求$\triangle BDC$的面积：
令$y = 0$，则$-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2 = 0$。
方程两边同乘$-2$得$x^{2}-3x - 4 = 0$。
因式分解得$(x + 1)(x - 4)=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=4$。
所以$B(4,0)$。
由对称轴公式$x = -\frac{b}{2a}$，对于$y = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$，$a = -\frac{1}{2}$，$b=\frac{3}{2}$，对称轴$x = -\frac{\frac{3}{2}}{2×(-\frac{1}{2})}=\frac{3}{2}$，则$D(\frac{3}{2},0)$。
$BD=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，$OC = 2$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，$S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}× BD× OC=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×2=\frac{5}{2}$。
3. 求线段$PQ$的最大值：
设直线$BC$的解析式为$y = kx + b$，把$B(4,0)$，$C(0,2)$代入得$\begin{cases}4k + b = 0\\b = 2\end{cases}$。
解得$k = -\frac{1}{2}$，$b = 2$，所以直线$BC$解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 2$。
设$P(t,-\frac{1}{2}t + 2)(0\leq t\leq4)$，则$Q(t,-\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{2}t + 2)$。
$PQ=(-\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{2}t + 2)-(-\frac{1}{2}t + 2)=-\frac{1}{2}t^{2}+2t$。
对于二次函数$y = -\frac{1}{2}t^{2}+2t$，$a = -\frac{1}{2}$，$b = 2$，根据顶点纵坐标公式$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$（这里$c = 0$），$y=\frac{-4}{4×(-\frac{1}{2})}=2$。
或由配方法$y = -\frac{1}{2}(t^{2}-4t)=-\frac{1}{2}(t - 2)^{2}+2$，当$t = 2$时，$PQ$最大值为$2$。
综上，答案依次为：
(1)$y = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$；
(2)$\frac{5}{2}$；
(3)$2$。