《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

4. 在如图所示的网格中有一个四边形和两个三角形。

(1) 请你画出这三个图形关于点$O$的中心对称图形。
(2) 将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形对称轴的条数。将这个整体图形至少旋转多少度才能与自身重合？

答案：

解：
(1)如图所示.

(2)这个整体图形有4条对称轴.

至少旋转90°才能和自身重合.

1. 已知点$A(2,-3)$关于原点的对称点$A'$在一次函数$y = kx + 1$的图象上,则实数$k$的值为(B)。
A.$1$
B.$-1$
C.$-2$
D.$2$

答案： 解：
∵点A(2,-3)关于原点对称的点为A'，
∴A'的坐标为(-2,3)。
∵点A'(-2,3)在一次函数y=kx+1的图象上，
∴3=-2k+1，
解得k=-1。
答案：B

2. 若点$P(-1,2m + 1)$关于原点对称的点在第一象限,则$m$的取值范围是$m ＜ -\dfrac{1}{2}$。

答案： 解：点$P(-1,2m + 1)$关于原点对称的点的坐标为$(1,-(2m + 1))$。
因为该对称点在第一象限，所以$\begin{cases}1 ＞ 0 \\ -(2m + 1) ＞ 0\end{cases}$
解$-(2m + 1) ＞ 0$得：$2m + 1 ＜ 0$，$2m ＜ -1$，$m ＜ -\dfrac{1}{2}$
故$m$的取值范围是$m ＜ -\dfrac{1}{2}$。

3. 若点$A(a + 2,b - 4)$与点$A'(-b,-3a)$关于原点对称,则$a + b = $0。

答案： 【解析】：
本题考查了关于原点对称的点的坐标性质。在平面直角坐标系中，如果两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标都是互为相反数。即如果点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$，根据这一性质，我们可以列出以下方程组：
$\begin{cases}a + 2 = -(-b) \\b - 4 = -(-3a)\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + 2 = b \\b - 4 = 3a\end{cases}$
进一步解这个方程组，我们可以得到$a$和$b$的值，从而求出$a+b$。
【答案】：
解：
由题意，点$A(a + 2,b - 4)$与点$A'(-b,-3a)$关于原点对称，根据对称性质，我们有：
$\begin{cases}a + 2 = -(-b) \\b - 4 = -(-3a)\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + 2 = b \\b - 4 = 3a\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程，得：
$a + 2 - 4 = 3a$
$-2a = 2$
$a = -1$
代入第一个方程得：
$b = a + 2 = 1$
所以，$a + b = -1 + 1 = 0$。
故答案为：$0$。

4. 点$A(a - 1,4)$关于原点的对称点是点$B(3,-2b + 2)$,则$a = $-2,$b = $3。

答案： 【解析】：
根据点关于原点对称的性质，如果点$A(x_1, y_1)$关于原点的对称点是$B(x_2, y_2)$，则有$x_1 = -x_2$和$y_1 = -y_2$。
对于本题，点$A(a - 1, 4)$关于原点的对称点是点$B(3, -2b + 2)$，
根据对称性，我们可以列出以下方程组：
$\begin{cases}a - 1 = -3 \\4 = -(-2b + 2)\end{cases}$
解这个方程组，我们可以得到$a$和$b$的值。
【答案】：
解方程组：
从第一个方程$a - 1 = -3$，解得$a = -2$；
从第二个方程$4 = -(-2b + 2)$，
移项得：$-2b + 2 = -4$，
进一步解得：$b = 3$；
所以，$a = -2$，$b = 3$。

5. 与抛物线$y = 3x^2 - 6x + 7$关于原点对称的抛物线的顶点为$(-1, -4)$。

答案： 解：
∵抛物线$y=3x^2 - 6x + 7$，
$y=3(x^2 - 2x) + 7$
$=3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 7$
$=3(x - 1)^2 - 3 + 7$
$=3(x - 1)^2 + 4$，
∴原抛物线顶点坐标为$(1, 4)$。
∵关于原点对称的点的坐标特点是横、纵坐标均互为相反数，
∴$(1, 4)$关于原点对称的点的坐标为$(-1, -4)$。
即所求抛物线的顶点为$(-1, -4)$。
$(-1, -4)$

6. 如图,$\triangle ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)$,$B(4,2)$,$C(3,4)$。
(1) 画出$\triangle ABC关于y轴的对称图形\triangle A_1B_1C_1$。
(2) 画出将$\triangle ABC绕点A顺时针旋转180^{\circ}后得到的\triangle AB_2C_2$。
(3) 在$x轴上求作一点P$,使$\triangle PAB$的周长最小,并直接写出点$P$的坐标。(不写解答过程,直接写出结果)

答案：

解：
(1)
(2)如图所示

(3)P 点坐标为(2，0)