《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

2. 若$x = -1$是关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx - 1 = 0(a \neq 0)$的一个根,则2023 + $a - b$的值等于(C).
A.2 022
B.2 023
C.2 024
D.2 025

答案： 解：因为$x = -1$是方程$ax^2 + bx - 1 = 0$的一个根，所以将$x = -1$代入方程得：$a×(-1)^2 + b×(-1) - 1 = 0$，即$a - b - 1 = 0$，所以$a - b = 1$。则$2023 + a - b = 2023 + 1 = 2024$。
答案：C

3. 已知关于$x的一元二次方程\frac{1}{m - 2} \cdot x^2 - 3x + m^2 - 4 = 0$有一个根是0,则$m$的值为-2.

答案： 解：将$x = 0$代入方程$\frac{1}{m - 2} \cdot x^2 - 3x + m^2 - 4 = 0$，得：
$m^2 - 4 = 0$
解得$m = 2$或$m = -2$
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$\frac{1}{m - 2} \neq 0$，即$m - 2 \neq 0$，$m \neq 2$
综上，$m = -2$
$-2$

4. 请写出一个一元二次方程,使它的一个解为$x = -1$：$x(x + 1) = 0$. (写出一个即可)

答案： 解：$x(x + 1) = 0$（答案不唯一）

5. 方程$2x - 4 = 0的解也是关于x的方程x^2 + mx + 2 = 0$的一个解,则$m$的值是-3.

答案： 解：解方程$2x - 4 = 0$，得$2x = 4$，$x = 2$。
将$x = 2$代入方程$x^2 + mx + 2 = 0$，得$2^2 + 2m + 2 = 0$，即$4 + 2m + 2 = 0$，$6 + 2m = 0$，$2m = -6$，解得$m = -3$。
$-3$

6. 已知$m是关于x的方程x^2 - 2x - 3 = 0$的一个根,求$2m^2 - 4m + 2$的值.

答案： 解：
∵m是关于x的方程x² - 2x - 3 = 0的一个根，
∴m² - 2m - 3 = 0，
∴m² - 2m = 3，
∴2m² - 4m + 2 = 2(m² - 2m) + 2 = 2×3 + 2 = 8.

7. 已知$m是方程x^2 + x - 5 = 0$的一个根,求代数式$(m + 1)^2 + (m + 2)(m - 2)$的值.

答案： 解：
∵m是方程$x^2 + x - 5 = 0$的一个根，
∴$m^2 + m - 5 = 0$，即$m^2 + m = 5$。
原式$=(m^2 + 2m + 1) + (m^2 - 4)$
$=m^2 + 2m + 1 + m^2 - 4$
$=2m^2 + 2m - 3$
$=2(m^2 + m) - 3$
将$m^2 + m = 5$代入上式，得：
$2×5 - 3 = 10 - 3 = 7$
故代数式的值为7。

8. 先化简,再求值.
$m是方程x^2 + 2x - 15 = 0$的一个根,求代数式$\left(1 - \frac{2}{m}\right) ÷ \frac{m^2 - 4m + 4}{m^2 - 4} - \frac{m + 4}{m + 2}$的值.

答案： 解：解方程$x^2 + 2x - 15 = 0$，因式分解得$(x + 5)(x - 3) = 0$，解得$x_1 = -5$，$x_2 = 3$，即$m = -5$或$m = 3$。
化简代数式：
$\begin{aligned}&\left(1 - \frac{2}{m}\right) ÷ \frac{m^2 - 4m + 4}{m^2 - 4} - \frac{m + 4}{m + 2}\\=&\frac{m - 2}{m} \cdot \frac{(m + 2)(m - 2)}{(m - 2)^2} - \frac{m + 4}{m + 2}\\=&\frac{m + 2}{m} - \frac{m + 4}{m + 2}\\=&\frac{(m + 2)^2 - m(m + 4)}{m(m + 2)}\\=&\frac{m^2 + 4m + 4 - m^2 - 4m}{m(m + 2)}\\=&\frac{4}{m(m + 2)}\end{aligned}$
当$m = -5$时，原式$=\frac{4}{-5×(-5 + 2)}=\frac{4}{15}$；当$m = 3$时，原式$=\frac{4}{3×(3 + 2)}=\frac{4}{15}$。
综上，代数式的值为$\frac{4}{15}$。

*9. 小刚在做作业时,不小心将方程$3x^2 - \blacksquare x - 5 = 0$的一次项系数用墨水覆盖住了,但从题目的答案中,他知道方程的一个解为$x = 5$. 请你帮助小刚求出被覆盖住的数.

答案： 解：设被覆盖住的数为 $ a $，则原方程为 $ 3x^2 - ax - 5 = 0 $。
因为 $ x = 5 $ 是方程的一个解，所以将 $ x = 5 $ 代入方程得：
$ 3×5^2 - a×5 - 5 = 0 $
$ 3×25 - 5a - 5 = 0 $
$ 75 - 5a - 5 = 0 $
$ 70 - 5a = 0 $
$ 5a = 70 $
$ a = 14 $
答：被覆盖住的数是 14。