《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

1. 如图,在 $4 × 4$ 的方格中 (共有 16 个小方格),每个小方格都是边长为 1 的正方形,$O$, $A$, $B$ 分别是小正方形的顶点,则扇形 $OAB$ 的面积等于 (A)。

A.$2\pi$
B.$\sqrt{2}\pi$
C.$2\sqrt{2}\pi$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$

答案： 【解析】：本题主要考查扇形的面积计算，需要先求出扇形的半径和圆心角，再代入扇形面积公式进行计算。
求$OA$，$OB$的长度：
由于每个小方格都是边长为$1$的正方形，$A$，$B$，$O$分别是小正方形的顶点。
根据勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
对于$OA$，它所在的直角三角形两直角边分别为$2$和$2$，
所以$OA = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$。
同理，$OB$所在的直角三角形两直角边也为$2$和$2$，所以$OB = 2\sqrt{2}$。
求$\angle AOB$的度数：
因为$OA$，$OB$与方格的边构成的三角形都是等腰直角三角形，所以$\angle AOC = \angle BOC = 45^{\circ}$（$C$为$A$关于$O$所在水平线的对称点与$O$构成的直角顶点），
那么$\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC = 90^{\circ}$。
计算扇形$OAB$的面积：
扇形的面积公式为$S = \frac{n\pi r^{2}}{360}$（其中$S$为扇形面积，$n$为圆心角度数，$r$为扇形所在圆的半径）。
已知$n = 90$，$r = 2\sqrt{2}$，将其代入公式可得：
$S = \frac{90\pi×(2\sqrt{2})^{2}}{360} = \frac{90\pi× 8}{360} = 2\pi$。
【答案】：A。

2. 如图,用一个半径为 $6 cm$ 的定滑轮拉动重物上升,绳索粗细不计且足够长,拉动绳索,使滑轮与绳索之间没有滑动。当滑轮转动了 $120^\circ$ 时,重物上升的高度是 (A)。

A.$4\pi cm$
B.$2\pi cm$
C.$18\pi cm$
D.$24\pi cm$

答案： 解：滑轮转动的弧长即为重物上升的高度。
已知滑轮半径$r = 6\space cm$，转动角度$n = 120^\circ$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，可得弧长$l=\frac{120×\pi×6}{180}=4\pi\space cm$。
故重物上升的高度是$4\pi\space cm$。
答案：A

3. 已知扇形的圆心角为 $120^\circ$,半径为 $2 cm$,则扇形的弧长是$\frac{4\pi}{3}$ $cm$,扇形的面积是$\frac{4\pi}{3}$ $cm^2$。

答案： 【解析】：
本题主要考查了弧长公式和扇形面积公式的应用。
对于弧长，我们使用公式：
$l = \frac{n\pi r}{180}$
其中，$l$ 是弧长，$n$ 是圆心角，$r$ 是半径。
将 $n = 120^\circ$ 和 $r = 2 cm$ 代入公式，得到：
$l = \frac{120\pi × 2}{180} = \frac{4\pi}{3} cm$
对于扇形面积，我们使用公式：
$S = \frac{n\pi r^2}{360}$
其中，$S$ 是扇形面积，$n$ 是圆心角，$r$ 是半径。
将 $n = 120^\circ$ 和 $r = 2 cm$ 代入公式，得到：
$S = \frac{120\pi × 2^2}{360} = \frac{4\pi}{3} cm^2$
【答案】：
弧长为 $\frac{4\pi}{3} cm$；扇形面积为 $\frac{4\pi}{3} cm^2$。

4. 如图,直线 $y = kx + b$ 经过点 $(1, \sqrt{3})$ 和点 $(-1, 3\sqrt{3})$,$A$, $B$ 是此直线与坐标轴的交点,以 $AB$ 为直径作 $\odot C$,求此圆与 $y$ 轴围成的阴影部分的面积。

答案： 解：将点$(1,\sqrt{3})$和$(-1,3\sqrt{3})$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}k+b=\sqrt{3}\\-k+b=3\sqrt{3}\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\sqrt{3}\\b=2\sqrt{3}\end{cases}$
$\therefore$直线解析式为$y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$。
令$x=0$，得$y=2\sqrt{3}$，$\therefore B(0,2\sqrt{3})$；
令$y=0$，得$x=2$，$\therefore A(2,0)$。
$\because AB$为直径，$\therefore$圆心$C$为$AB$中点，
$\therefore C\left(\dfrac{0+2}{2},\dfrac{2\sqrt{3}+0}{2}\right)=(1,\sqrt{3})$。
$AB=\sqrt{(2-0)^2+(0-2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=4$，
$\therefore$半径$r=2$。
过$C$作$CD\perp y$轴于$D$，则$CD=1$，$OC_y=\sqrt{3}$，
$OD=1$，$BD=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle CDB$中，$\cos\angle BCD=\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore\angle BCD=60^\circ$，同理$\angle ACD=60^\circ$，
$\therefore\angle ACB=120^\circ$。
扇形$ACB$面积$S_1=\dfrac{120\pi r^2}{360}=\dfrac{120\pi×4}{360}=\dfrac{4\pi}{3}$。
$\triangle ACB$面积$S_2=\dfrac{1}{2}× AB× CD=\dfrac{1}{2}×4×1=2$。
阴影部分面积$S=S_1 - S_2=\dfrac{4\pi}{3}-2$。
答：阴影部分面积为$\dfrac{4\pi}{3}-2$。

1. 道路施工部门在铺设如图所示的管道时,需要先按照其中心线计算长度后再备料。图中的管道中心线 $\overset{\frown}{AB}$ 的长为 (单位：m) (B)。
A.$\frac{40\pi}{3}$
B.$\frac{80\pi}{3}$
C.$\frac{1600\pi}{3}$
D.$\frac{3200\pi}{3}$

答案： 解：由图可知，管道中心线$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径$r = 40\ m$，圆心角$\theta = 120^\circ$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{120×\pi×40}{180}=\frac{4800\pi}{180}=\frac{80\pi}{3}\ m$
答案：B

2. 已知一个扇形的半径为 $8 cm$,弧长为 $\frac{16}{3}\pi cm$,则扇形的圆心角为 (B)。
A.$60^\circ$
B.$120^\circ$
C.$150^\circ$
D.$180^\circ$

答案： 【解析】：
本题考查扇形圆心角的计算，需要用到弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径）。
已知扇形半径$r = 8cm$，弧长$l=\frac{16}{3}\pi cm$，将其代入弧长公式求解圆心角$n$。
由$l = \frac{n\pi r}{180}$可得$n=\frac{180l}{\pi r}$，把$r = 8$，$l=\frac{16}{3}\pi$代入到$n=\frac{180l}{\pi r}$中，即$n=\frac{180×\frac{16}{3}\pi}{\pi×8}$。
先计算分子$180×\frac{16}{3}\pi = 60×16\pi=960\pi$，再计算$n=\frac{960\pi}{8\pi}$，$\pi$约掉后$n = 120$，所以圆心角为$120^{\circ}$。
【答案】：
B

3. 如图,某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”,它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心,边长为半径的三段圆弧。若该等边三角形的边长为 $3$,则这个“莱洛三角形”的周长是______$3\pi$。

答案： 【解析】：
本题主要考查了弧长公式的运用，通过给定的等边三角形边长，结合弧长公式计算出三段圆弧的长度，进而求得“莱洛三角形”的周长。
已知等边三角形的边长为$3$，即圆弧的半径$r = 3$。
因为等边三角形的内角均为$60^{\circ}$，所以每段圆弧所对的圆心角$n = 60^{\circ}$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径），可计算出每段圆弧的长度为：
$l=\frac{60\pi×3}{180}=\pi$。
“莱洛三角形”的周长是由三段这样的圆弧组成，所以其周长$C = 3×\pi=3\pi$。
【答案】：
$3\pi$

4. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$AB = 2\sqrt{2}$,连接 $AC$,以点 $C$ 为圆心、$AC$ 长为半径画弧,弧与 $BC$ 的延长线交于点 $E$,则图中阴影部分的面积为______。

6π - 4

答案： 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$AB = 2\sqrt{2}$，
∴ $BC = AB = 2\sqrt{2}$，$\angle ABC = 90°$，$\angle ACD = 45°$。
在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = 4$。
∵ 以点 $C$ 为圆心、$AC$ 为半径画弧，
∴ 扇形 $ACE$ 的半径 $CE = AC = 4$，圆心角 $\angle ACE = 180° - \angle ACD = 135°$。
扇形 $ACE$ 的面积：$\frac{135°}{360°} × \pi × 4^2 = \frac{3}{8} × 16\pi = 6\pi$。
$\triangle ABC$ 的面积：$\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 2\sqrt{2} = 4$。
阴影部分面积 = 扇形 $ACE$ 面积 - $\triangle ABC$ 面积 = $6\pi - 4$。
$6\pi - 4$