《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

【例题1】如图,在$Rt \triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$O为AB$上一点,$OB = m$,$\odot O的半径r = \frac{1}{2}$. 问：当$m$在什么取值范围内时,$BC与\odot O$相离、相切、相交？

答案： 思路导引 判断直线和圆的位置关系时,一定要找准半径的长和圆心到直线的距离,然后比较两者的大小,从而判断位置关系.
解：过点$O作OD \perp BC于点D$. $\because \angle A = 30^{\circ}$,$\angle C = 90^{\circ}$,$\therefore \angle B = 60^{\circ}$.
在$Rt \triangle ODB$中,$OB = m$,$\therefore BD = \frac{m}{2}$,$OD = d = \sqrt{m^{2} - (\frac{m}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}m$.
$\therefore$①当$\odot O与BC$相离时,$d ＞ r$,即$\frac{\sqrt{3}}{2}m ＞ \frac{1}{2}$ $\therefore m ＞ \frac{\sqrt{3}}{3}$. ②当$\odot O与BC$相切时,$d = r$,即$\frac{\sqrt{3}}{2}m = \frac{1}{2}$,$\therefore m = \frac{\sqrt{3}}{3}$. ③当$\odot O与BC$相交时,$d ＜ r$,即$\frac{\sqrt{3}}{2}m ＜ \frac{1}{2}$,$\therefore m ＜ \frac{\sqrt{3}}{3}$.
综上所述,当$m ＞ \frac{\sqrt{3}}{3}$时,$BC与\odot O$相离；当$m = \frac{\sqrt{3}}{3}$时,$BC与\odot O$相切；当$m ＜ \frac{\sqrt{3}}{3}$时,$BC与\odot O$相交.

【例题2】如图①,直线$AB$,$CD交于点O$,$\angle AOC = 30^{\circ}$,半径为$1 cm的\odot P的圆心在射线OA$上,开始时$PO = 6 cm$. 如果$\odot P以1 cm/s的速度沿由点A向点B$的方向移动,那么当$\odot P的运动时间t$(单位：s)满足什么条件时,$\odot P与直线CD$相交？

答案：
思路导引 本题以动态几何形式呈现,解答此类问题首先要“以静制动”“动静结合”,即把变化的过程分解成几个关键点,再结合运动确定最后答案. 此题先确定$\odot P与直线CD$相切有两个位置,如图②.
图① 图②

解：如图②,当$\odot P运动到\odot P_1与点C$相切时,可得$P_1E \perp CD$. 又$\angle AOC = 30^{\circ}$,$\therefore OP_1 = 2P_1E = 2 × 1 = 2(cm)$. $\therefore \odot P运动到\odot P_1所用的时间t_1 = \frac{6 - 2}{1} = 4(s)$.
当$\odot P继续向点B$运动,到达$\odot P_2$时,
同理可得$t_2 = 8(s)$.
综上所述,当$4 s ＜ t ＜ 8 s$时,$\odot P与直线CD$相交.