《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

7. 如图,在Rt$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^\circ$,将$\triangle ABC$绕点A顺时针旋转得到$\triangle ADE$,使点C的对应点E落在AB上,连接BD.
(1)若$\angle ABC= 40^\circ$,求$\angle BDE$的度数.
(2)若$AC= 6$,$BC= 8$,求BD的长.

答案：
(1)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=40°，
∴∠BAC=90°-40°=50°.
∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=50°，AD=AB，∠ADE=∠ABC=40°.
∴∠ABD=∠ADB.
∵点E落在AB上，
∴∠DAB=∠DAE=50°.
∴∠ADB=(180°-∠DAB)/2=(180°-50°)/2=65°.
∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=65°-40°=25°.
(2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10.
∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴AE=AC=6，AD=AB=10，∠AED=∠C=90°.
∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°.
∵DE=BC=8，
在Rt△BDE中，BD=√(DE²+BE²)=√(8²+4²)=√80=4√5.

8. 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,点D在边AC上,将$\triangle BCD$绕点C旋转得到$\triangle ACE$.
(1)求证：$DE// BC$.
(2)若$AB= 8$,$BD= 7$,求$\triangle ADE$的周长.

答案：
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC。
∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE，
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠CDE=∠ACB，
∴DE//BC。
(2)解：
∵△ABC是等边三角形，AB=8，
∴AC=AB=8。
∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE，
∴AE=BD=7，CD=CE。
由
(1)知△CDE是等边三角形，
∴DE=CD。
∵AD+CD=AC=8，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+CD+BD=AC+BD=8+7=15。