《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

【例题】用配方法解一元二次方程$2x^2 + 3 = 5x$.

答案： 思路导引　通过配方把方程左边化成一个含未知数的整式的平方,右边是一个常数的形式,在整个解题过程中,要特别注意系数的处理方法.
解：移项,得$2x^2 - 5x = -3$.
两边都除以2,得$x^2 - \frac{5}{2}x = -\frac{3}{2}$.
方程两边都加上一次项系数一半的平方,得$x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 = -\frac{3}{2} + (\frac{5}{4})^2$,
即$(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{1}{16}$.
两边开平方,得$x - \frac{5}{4} = ±\frac{1}{4}$.
∴$x_1 = 1$,$x_2 = \frac{3}{2}$.

1. 用配方法解一元二次方程$x^2 - 4x + 1 = 0$,下列变形中正确的是(　A　).
A.$(x - 2)^2 = 3$　　
B.$(x + 4)^2 = 15$
C.$(x + 2)^2 = 3$　　
D.$(x - 2)^2 = -3$

答案： 解：$x^2 - 4x + 1 = 0$
移项，得$x^2 - 4x = -1$
配方，得$x^2 - 4x + 4 = -1 + 4$
即$(x - 2)^2 = 3$
A

2. (1)$x^2 + 3x + \underline{\hspace{5em}$\frac{9}{4}$} = (x + \underline{\hspace{2em}$\frac{3}{2}$})^2$.
(2)$x^2 - \frac{5}{2}x + \underline{\hspace{5em}$\frac{25}{16}$} = (x - \underline{\hspace{2em}$\frac{5}{4}$})^2$.

答案： 【解析】：
本题考查了配方法的应用。
对于配方，我们需要找到一个数，使得二次项和一次项能配成一个完全平方的形式。
具体地，对于形如$x^2 + bx$的式子，我们需要加上$(\frac{b}{2})^2$来使其成为完全平方。
(1) 对于$x^2 + 3x$，其中$b=3$，所以需要加上的数是$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$。
因此，$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = (x + \frac{3}{2})^2$。
(2) 对于$x^2 - \frac{5}{2}x$，其中$b=-\frac{5}{2}$，所以需要加上的数是$(\frac{-\frac{5}{2}}{2})^2 = (\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$。
因此，$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = (x - \frac{5}{4})^2$。
【答案】：
(1) $\frac{9}{4}$；$\frac{3}{2}$
(2) $\frac{25}{16}$；$\frac{5}{4}$

3. 已知一元二次方程$x^2 - 8x = 0$,用配方法解该方程可得的两个根为$x_1=8$，$x_2=0$.

答案： 解：$x^2 - 8x = 0$
$x^2 - 8x + 16 = 16$
$(x - 4)^2 = 16$
$x - 4 = \pm 4$
$x_1 = 8$，$x_2 = 0$
两个根为$x_1=8$，$x_2=0$

4. 用配方法解下列方程.
(1)$x^2 + 2x - 35 = 0$.
(2)$2x^2 - 1 = 4x$.

答案： 【解析】：
本题考查的是用配方法解一元二次方程。
配方法的一般步骤为：
1. 将常数项移到等式右边。
2. 将二次项系数化为1（如果二次项系数不为1）。
3. 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
4. 将左边化为完全平方的形式。
5. 利用直接开平方的方法求解。
【答案】：
(1) 解：
原方程为 $x^2 + 2x - 35 = 0$。
移项得 $x^2 + 2x = 35$。
为了配方，我们在等式两边同时加上1（因为一次项系数的一半为1，其平方为1）得：
$x^2 + 2x + 1 = 36$。
即 $(x + 1)^2 = 36$。
开平方得 $x + 1 = \pm 6$。
解得 $x_1 = 5$，$x_2 = -7$。
(2) 解：
原方程为 $2x^2 - 1 = 4x$。
移项得 $2x^2 - 4x = 1$。
为了将二次项系数化为1，我们两边同时除以2得：
$x^2 - 2x = \frac{1}{2}$。
为了配方，我们在等式两边同时加上1（因为一次项系数的一半为-1，其平方为1）得：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{3}{2}$。
即 $(x - 1)^2 = \frac{3}{2}$。
开平方得 $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$。
解得 $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$。

1. 用配方法解一元二次方程$x^2 - 6x - 2 = 0$,可将方程变形为$(x - 3)^2 = n$的形式,则$n$的值是(　　D).
A.9　　
B.7
C.10　　
D.11

答案： 解：$x^2 - 6x - 2 = 0$
移项，得$x^2 - 6x = 2$
配方，得$x^2 - 6x + 9 = 2 + 9$
即$(x - 3)^2 = 11$
所以$n = 11$
D

2. 用配方法解下列方程,配方正确的是(　　D).
A.$2y^2 - 4y - 4 = 0可化为(y - 1)^2 = 4$
B.$x^2 - 2x - 9 = 0可化为(x - 1)^2 = 8$
C.$x^2 + 8x - 9 = 0可化为(x + 4)^2 = 16$
D.$x^2 - 4x = 0可化为(x - 2)^2 = 4$

答案： 解：
A. $2y^2 - 4y - 4 = 0$
两边同除以2：$y^2 - 2y - 2 = 0$
移项：$y^2 - 2y = 2$
配方：$y^2 - 2y + 1 = 2 + 1$，即$(y - 1)^2 = 3$，A错误。
B. $x^2 - 2x - 9 = 0$
移项：$x^2 - 2x = 9$
配方：$x^2 - 2x + 1 = 9 + 1$，即$(x - 1)^2 = 10$，B错误。
C. $x^2 + 8x - 9 = 0$
移项：$x^2 + 8x = 9$
配方：$x^2 + 8x + 16 = 9 + 16$，即$(x + 4)^2 = 25$，C错误。
D. $x^2 - 4x = 0$
配方：$x^2 - 4x + 4 = 0 + 4$，即$(x - 2)^2 = 4$，D正确。
答案：D

3. 用配方法解方程$x^2 - 4x - 2 = 0$,配方后方程转化为$(x + m)^2 = n$的形式,则$m$,$n$的值分别是(　A　).
A.-2,6　　
B.2,-6
C.6,-2　　
D.-6,2

答案： 解：$x^2 - 4x - 2 = 0$
移项，得$x^2 - 4x = 2$
配方，得$x^2 - 4x + 4 = 2 + 4$
即$(x - 2)^2 = 6$
对比$(x + m)^2 = n$，得$m = -2$，$n = 6$
答案：A

4. 若方程$x^2 + kx + 64 = 0$的左边是完全平方式,则$k$的值为(　　D).
A.16　　
B.±8
C.-16　　
D.±16

答案： 解：因为方程$x^2 + kx + 64 = 0$的左边是完全平方式，而$x^2 + kx + 64 = x^2 + kx + 8^2$。
根据完全平方公式$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，可得$kx = \pm 2 × x × 8$。
即$kx = \pm 16x$，所以$k = \pm 16$。
答案：D