《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

1.某商店销售一种进价为50元/件的商品,
售价为60元/件,每星期可卖出200件.
若每件商品的售价每上涨1元,则每星期
就会少卖出10件.设每件商品的售价上涨
x元(x为正整数),每星期销售该商品的
利润为y元,则y与x之间的函数解析式
为(A).
$A.y= -10x^2+100x+2000 $
$B.y= 10x^2+100x+2000 $
$C.y= -10x^2+200x $
$D.y= -10x^2-100x+2000$
A.$y= -10x^2+100x+2000 $
B.$y= 10x^2+100x+2000 $
C.$y= -10x^2+200x $
D.$y= -10x^2-100x+2000$

答案： 解：由题意知，每件商品的售价上涨$x$元，则售价为$(60 + x)$元，每件的利润为$(60 + x - 50)=(10 + x)$元，每星期的销售量为$(200 - 10x)$件。
利润$y = (10 + x)(200 - 10x)$，展开得：
$y = 10×200 + 10×(-10x) + x×200 + x×(-10x)$
$= 2000 - 100x + 200x - 10x^2$
$= -10x^2 + 100x + 2000$
答案：A

2.某商店经营一种商品,在销售过程中发现,一周的销售利润y(单位:元)与销售价格x (单位:元/件)之间满足函数关系y=$ -2x^2+80x+758. $由于某种原因,该种商品的价格需满足15≤x≤19,那么一周可获得的最大利润是(B).
A.1554元
B.1556元
C.1558元
D.1560元

答案： 解：对于二次函数$y = -2x^2 + 80x + 758$，其中$a=-2$，$b=80$，$c=758$。
因为$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{80}{2×(-2)} = 20$。
由于$15\leq x\leq19$，对称轴$x=20$不在此区间内，且函数在对称轴左侧单调递增，所以在$15\leq x\leq19$上，当$x=19$时，$y$取得最大值。
将$x=19$代入函数得：
$y = -2×19^2 + 80×19 + 758$
$= -2×361 + 1520 + 758$
$= -722 + 1520 + 758$
$= 798 + 758$
$= 1556$
答案：B

3.进价为每件80元的某种衬衣的售价为每件100元,每月可卖出2000件,每件售价每上涨1元,销售量便减少5件,那么每月售出的衬衣总件数y(单位:件)与衬衣售价x(单位:元√件)之间的函数解析式为y=2000-5(x-100),每月利润w(单位:元)与衬衣售价x(单位:元/件)之间的函数解析式为w=(x-80)[2000-5(x-100)].(以上解析式列出后不用化简)

答案： 解：
每月售出的衬衣总件数y与衬衣售价x之间的函数解析式为：y=2000-5(x-100)
每月利润w与衬衣售价x之间的函数解析式为：w=(x-80)[2000-5(x-100)]

4.已知某商品的进价为每件40元.现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映,每件该商品的售价每上涨1元,每星期要少卖出10件.当售价为每件65元时,才能使利润最大.

答案： 解：设每件商品的售价上涨$x$元，每星期的销售利润为$y$元。
根据题意，得$y=(60 + x - 40)(300 - 10x)$，其中$x\geq0$，且$300 - 10x\geq0$，即$0\leq x\leq30$。
化简，得$y=(20 + x)(300 - 10x)=-10x^2 + 100x + 6000$。
$\because a=-10\lt0$，$\therefore$二次函数图象开口向下，函数有最大值。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-10)}=5$。
$\because x=5$在$0\leq x\leq30$范围内，$\therefore$当$x=5$时，$y$有最大值。
此时售价为$60 + 5 = 65$元。
65

5.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加2个.设单价降低x元,则每天的利润y与x之间的函数解析式是$y=-2x^2+40x+600$;最大利润为800元

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数与最大利润问题的结合。
首先，需要确定降价x元后的售价和销售量。售价则为$100-x$元，销售量为$20+2x$个。
然后，需要计算每个商品的利润。每个商品的利润为售价减去进货单价，即$(100-x)-70=30-x$元。
接着，可以建立总利润y与降价x之间的函数关系。总利润为单个商品的利润乘以销售量，即$y=(30-x)(20+2x)$。
展开得到$y=-2x^2+40x+600$。
这是一个开口向下的二次函数，可以通过配方的方法将其转化为顶点式，从而求出最大值。
配方得到$y=-2(x-10)^2+800$。
由于二次项系数为负，所以函数开口向下，顶点处取得最大值。
当$x=10$时，y取得最大值800。
所以，每天的利润y与x之间的函数解析式为$y=-2x^2+40x+600$；最大利润为800元。
【答案】：
$y=-2x^2+40x+600$；800