《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

【例题1】如图,已知$AD是\triangle ABC$的中线,画出以点$D$为对称中心,与$\triangle ABC$对称的三角形.

答案：
思路导引 因为点$D$是对称中心,且$AD是\triangle ABC$的中线,所以点$C$, $B$为对应点,因此,只要再画出点$A关于点D$的对应点即可.
解：①如图,延长$AD$,且使$AD = DA'$. 点$C关于点D的中心对称点是C'$,点$B关于中心点D的对称点是B'$.
②连接$A'B'$, $A'C'$,则所求作的$\triangle A'B'C'$如图所示.

【例题2】在如图所示的方格纸中,将等腰三角形$ABC绕底边BC的中点O旋转180^\circ$.
(1)画出旋转后的图形.

(2)旋转后得到的三角形与原三角形可拼成什么图形？请说明理由.
(3)若要使拼成的图形为正方形,那么$\triangle ABC$应满足什么条件？为什么？

答案：
思路导引 旋转后的图形比较容易画出. 旋转后的图形与原图形拼成的图形,利用定义可以判断为菱形,在菱形的基础上再添加条件“一个角为直角”,则菱形为正方形,也就是原等腰三角形变为等腰直角三角形.
解：
(1)如图.

(2)旋转后得到的三角形与原三角形可拼成菱形.
理由：设将$\triangle ABC绕点O旋转180^\circ后得到\triangle A'B'C'$,则$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.
∵ $O是BC$的中点,
∴ 点$B的对应点B'与点C$重合,点$C的对应点C'与点B$重合.
∴ $A'B = AC$, $A'C = AB$.
∵ $AB = AC$,
∴ $A'B = AB = AC = A'C$.
∴ 四边形$ABA'C$是菱形.
(3)当$\triangle ABC$是等腰直角三角形时,拼成的图形是正方形. 由
(2)可知,四边形$ABA'C$是菱形. 又$\angle BAC = 90^\circ$,
∴ 四边形$ABA'C$是正方形.